Примеры расчёта переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Страницы работы

Содержание работы

L. 532. «Электротехника»                                                                                   Аксютин В.А.

Примеры расчёта переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Пример 1

На вход цепи, рис. 1а, подаётся напряжение: uВХ (t). Заданы R= 1 кОм, L = 0.05 Гн и график входного напряжения uВХ(t), рис.1б , где  U0 = 10 В, t0 = 20 мс,

 


а                                                                                                         б

Рис. 1

Найти: закон изменения выходного напряжения uВЫХ(t).

Решение

1.  Для напряжения uВЫХ(t) классическим или операторным методом рассчитывается переходная функция цепи k(t), как включение цепи на источник постоянной ЭДС 1 В.

Классический метод рис. 2

uВЫХ(t) = k(t) = kПР+ kСВ(t)|E=1 B

kПР=0 при  t=∞;

kСВ(t) = Aept           pL+R=0;         p =–R/L:

iL(0) = iL(0+)=0;    E= iL(0+)R+ uL(0+);

uL(0+) = E=1 B.

kСВ(0+) = uL(0+) = A = 1 B.

k(t) =1ept = e–tR/L

 
 


Рис. 2

2.  Для трёх участков характеристики входного напряжения uВХ(t) источника (рис. 1б), имеющего аналитическое описание и представленного кусочно-гладкой функцией после коммутации, составим интеграл Дюамеля.

u1(t) = a1 t + b1,          u1(t) =  t + U0,           u1(t) = –1000 t + 10,

uВХ(t) =         u2(t) = a2 t + b2,  =      u2(t) =  t – 3 U0,   =      u2(t) = 1000 t – 30,

u3(t) = 0,                    u3(t) = 0,                              u3(t) = 0,

a1 =  = –1000 В/с.      a2 = –1000 В/с.

·  В промежутке  0<t<t0 можно воспользоваться уже имеющейся формулой (1):

uВЫХ1(t)= u1(0) k(t) + .

·  В промежутке t0<t<2t0 следует учесть скачок напряжения  e2(t1) – e1(t1), а также то, что напряжение изменяется по закону  e2(t):

uВЫХ2(t)= u1(0) k(t) +  + [u2(t0) – u1(t0)] k(t–t0) + +,

где  k(t–t1)  учитывает запаздывание скачка [u2(t0) – u1(t0)] на время  t0 по сравнению с началом отсчёта времени.

·  Для промежутка времени 2t0<t< учитываем скачок - u2(2t0), а также то, что u2(t) действует лишь до 2t0:

uВЫХ3(t) = u1(0) k(t) +  + [u2(t0) – u1(t0)] k(t–t0) +

++ [0–u2(2t0)] k(t–2t0) + .

3.  Определяем составляющие, которые входят в интеграл Дюамеля.

 =  =

 =

 = 0

k(t) =

k(t–τ) =  

k(t–2t0) =

k(t–t0) =

4.  Определяем интегралы Дюамеля и записываем для каждого участка характеристики источника напряжения решения для напряжения uВЫХ(t).

В промежутке  0<t<t0:

uВЫХ1(t)= U0 + dτ = .

В промежутке t0<t<2t0:

uВЫХ2(t)= U0  + dτ + 0 +dτ = ,

Для промежутка времени 2t0<t<:

uВЫХ3(t) = U0 + dτ + 0 +dτ –

–U0 k(t–2t0) =  + 0.

Пример 2

На вход цепи, рис. 3а, подключён источник ЭДС e(t). Заданы R1= 1 кОм, R1= 1 кОм, R2= 2 кОм, C = 0.5 мкФ и график источника ЭДС e(t), рис.3б , где  E0 = 100 В, t1 = 10 мс, t2 = 30 мс.

 


а                                                                                                         б

Рис. 3

Найти: закон изменения выходного напряжения i2(t)

Решение

1. Для тока i2(t) операторным методом рассчитываем переходную проводимость цепи g(t), как включение цепи на источник постоянной ЭДС 1 В.

 


а                                                                 б

Рис. 4

·  Операторная схема замещения приведена на рис. 4б.

Определим параметры схемы (см. табл. 2, раздел l 521)

e(t)=1 ® Е(p) =  ;          UC(0) = 0 ® ЕC(p) =  = 0

·  По эквивалентной операторной схеме находится изображение напряжения. тока I2(p) по закону Ома:

I2(p) =  =

·  По теореме разложения определяем оригинал напряжения uС(t).

I2(p) = =

Корни F2(p) =0,     p1= 0 c−1  и   p2 = − 3000 c−1.

2(p) =( p2 + p3000)= 2 p +3000.

i2(t) = g(t) =  +  =

=  +  = 0.333 10-3 + 0.1667 10-3 A.

g(t) = 0.333 + 0.1667 мA.

2. Для трёх участков характеристики входного напряжения uВХ(t) источника (рис. 1б), имеющего аналитическое описание и представленного кусочно-гладкой функцией после коммутации, составим интеграл Дюамеля.

u1(t) = U0,                          u1(t) = 100,

uВХ(t) =         u2(t) = a t + b,         =        u2(t) = – 5000 t + 150,

u3(t) = 0,                            u3(t) = 0,

a =                           в =

u1(t) = a1 t + b1,                  u1(t) =  t + U0,

uВЫХ(t)=         u2(t) = a2 t + b2,      =        u2(t) =  t – 3 U0,

u3(t) = 0,                            u3(t) = 0,

·  В промежутке  0<t<t0 можно воспользоваться уже имеющейся формулой (1):

uВЫХ(t)= u1(0) k(t) + .

·  В промежутке t0<t<2t0 следует учесть скачок напряжения  e2(t1) – e1(t1), а также то, что напряжение изменяется по закону  e2(t):

uВЫХ(t)= u1(0) k(t) +  + [u2(t0) – u1(t0)] k(t–t0) + +,

где  k(t–t1)  учитывает запаздывание скачка [u2(t0) – u1(t0)] на время  t0 по сравнению с началом отсчёта времени.

·  Для промежутка времени 2t0<t< учитываем скачок - u2(2t0), а также то, что u2(t) действует лишь до 2t0:

uВЫХ(t) = u1(0) k(t) +  + [u2(t0) – u1(t0)] k(t–t0) +

++ [0–u2(2t0)] k(t–2t0) + .

3. Определяем составляющие, которые входят в интеграл Дюамеля.

 =  =

 =

 = 0

k(t) =

k(t–τ) =  

k(t–2t0) =

k(t–t0) =

5.  Определяем интегралы Дюамеля и записываем для каждого участка характеристики источника напряжения решения для напряжения uВЫХ(t).

В промежутке  0<t<t0:

uВЫХ(t)= U0 + dτ = .

В промежутке t0<t<2t0:

uВЫХ(t)= U0  + dτ + 0 +dτ = ,

Для промежутка времени 2t0<t<:

uВЫХ(t) = U0 + dτ + 0 +dτ –

–U0 k(t–2t0) =  + 0.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
225 Kb
Скачали:
0