Применение метода наложения к расчету электрических цепей с двумя и более источниками энергии. Метод узловых потенциалов (узловых напряжений) (главы 3-5 учебного пособия "Теоретические основы электротехники в примерах и задачах"), страница 2

О т в е т: ,  .

        

         Рис. 4.7.                                               Рис. 4.8.

Задача 4.6. Методом контурных токов определить токи в ветвях цепи (рис. 4.9).Дано: , , , , , , . Положительные направления токов указаны на схеме.

О т в е т: , , , ,

.

Задача 4.7. Методом контурных токов определить токи в ветвях цепи (рис. 4.10), если , , , , , , .

О т в е т: , .

          

Рис. 4.9.                                              Рис. 4.10.

Задача 4.8. Методом контурных токов определить показания амперметров установленных в ветвях цепи, схема которой приведена на рис.4.11. Дано: , ,  , , , .

О т в е т: , .

Задача 4.9. Методом контурных токов рассчитать указанные в схеме (рис. 4.12) токи, если , , , , , , , .

О т в е т: , , , ,

, , , .

   

Рис. 4.11.                                             Рис. 4.12.

5. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ)

Метод узловых потенциалов это метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы (напряжения) узлов схемы. Использование метода позволяет сократить количество составляемых уравнений  по отношению к расчету при непосредственном применении законов Кирхгофа.

Задача 5.1.

Определить токи в ветвях цепи (рис. 5.1) методом узловых потенциалов, если , , ,, , , , , .

    

      Рис. 5.1.                                              Рис. 5.2.

Решение

1. Схема (рис. 5.1) содержит пять ветвей (), три узла ().

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов определяется числом уравнений по первому закону Кирхгофа и равно двум:

.

Примем потенциал одного из узлов, например узла 1 (рис.5.2), равным нулю ().

3. Расчетные уравнения для определения потенциалов  и  

(узел 2, 3) будут иметь вид:

4. После подстановки в систему числовых значений имеем

5. Решая систему относительно неизвестных потенциалов  и  , находим

,   .

6. Зададим произвольное направление токов в ветвях схемы (рис.5.2). По закону Ома для участка цепи, считая,  что ток направлен от узла с большим потенциалом к узлу с меньшим потенциалом, выражаем токи:

;

;

;

;

.

7. Проверка решения. Проверку решения выполним, составив уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура:

.

Подставляя числовые значения в уравнение, получим:

.

Задача 5.2.

Для схемы, представленной на рис. 5.3, пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Дано: , , , , , , , , , , , .

Рис. 5.3.

Решение.

1. Схема (рис. 5.3) содержит восемь ветвей (), из которых шесть ветвей с неизвестными токами, четыре узла (), две ветви с источниками тока ().

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи равно трем

.

Потенциал узла 1 (рис. 5.4) примем равным нулю  ().

Рис. 5.4.

3. Система уравнений для определения потенциалов ,  и  (узлы 2, 3 и 4) согласно рис. 5.4 будет иметь вид:

4. Для расчета приведем систему к матричной  форме:

.

5. После подстановки числовых значений получим

.

6. Решением матричного уравнения будут потенциалы узлов

;  ;  .

7. Зададим направление токов в ветвях схемы, как указано на рис. 5.4 и выразим токи:

;

;

;

;

;

.

8. Проверка решения. Проверку решения выполним по первому закону Кирхгофа, например, для узла 1:

.

Задача 5.3.

Методом узловых потенциалов определить токи во всех ветвях схемы, изображенной на рис. 5.5. Заданы , , , , , .

    

Рис. 5.5.                                              Рис. 5.6.

Решение.

1. Схема (рис. 5.5) содержит семь ветвей (), четыре узла  (), одна ветвь с источником тока ()

В цепи имеется ветвь с источником ЭДС , не содержащая сопротивления () т.е. с нулевым сопротивлением.

2. Общее число уравнений для расчета цепи по методу узловых потенциалов при наличии ветви с источником ЭДС, не содержащей сопротивления, равно двум

.

Примем потенциал узла 1 (рис. 5.6) равным нулю ().

П р и м е ч а н и е:  Целесообразно принять равным нулю потенциал одной из узловых точек ветви с источником ЭДС с нулевым сопротивлением.

Тогда потенциал узла 2 имеет значение напряжения, равное , т.е.  (рис. 5.6).

3. Расчетные уравнения для потенциалов оставшихся узловых точек (узлы 3, 4) будут иметь следующий вид:

4. Подставив в систему числовые значения, получим

5. Решение системы относительно неизвестных потенциалов позволяет получить

,  .

6. Зададим направления токов в ветвях цепи, как указано на рис.5.6. По закону Ома выразим токи:

;

;

;

;

.

Ток  в ветви с источником  найдем по первому закону Кирхгофа для узла 1 (рис. 5.6):

.

7. Проверка решения. По второму закону Кирхгофа для внешнего контура цепи (рис. 5.6) запишем:

.

После подстановки числовых значений получим:

.

Задача 5.4.

Вычислить токи в ветвях схемы, рис. 5.7, методом узловых потенциалов, если , , , , , .

         

Рис. 5.7.                                             Рис. 5.8.

Решение.

1. Схема (рис.5.7) содержит четыре ветви (), два узла (), одна ветвь с источником тока ().

Рассматривая частный случай схемы с двумя узлами, воспользуемся для расчета методом двух узлов.

2. Потенциал узла 2 (рис. 5.8) примем равным нулю ().  Тогда  напряжение между узлами 1 и 2 найдем как

.

3. Направление токов в ветвях цепи зададим в соответствии с указанными на рис. 5.8, тогда

;

;

.

7. Проверка решения.  По первому закону  Кирхгофа для узла 2 запишем:

.

Задача 5.5.

Определить показание вольтметра установленного в схеме (рис.5.9), если , , , , , , , . Внутреннее сопротивление вольтметра принять равным . Расчет цепи выполнить по методу узловых потенциалов.

Рис. 5.9.

Решение.

Показание вольтметра определим, как разность потенциалов узловых точек 3 и 2 в местах его подключения: .

1. Определим потенциалы  и  узловых точек 2 и 3. Схема содержит шесть ветвей (), четыре узла (), одна ветвь содержит источник тока ().

2. Достаточное количество уравнений для расчета цепи методом узловых потенциалов равно трем

.

Потенциал узла 4 (рис. 5.9) примем равным нулю ().

3. Система уравнений для определения неизвестных потенциалов ,  и   узловых точек 1, 2 и 3 будет иметь вид:

4. Приведем систему к матричной форме:

.

5. Подставив в систему числовые значения заданных параметров элементов цепи, получим:

.

6. Из решения системы получим

,   .

7. Показания вольтметра найдем как разность потенциалов узловых точек 3 и 2:

.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.6. Методом узловых потенциалов рассчитать напряжения узловых точек, указанных на схеме (рис. 5.10), и рассчитать все токи, если , , , , , , , . Потенциал узловой точки 1 принять равным нулю ().

О т в е т: потенциалы узлов , ;

токи , , , , , .

Задача 5.7. Для схемы (рис. 5.11), пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Дано , , , , , .

О т в е т: , , , , .

       

            Рис. 5.10.                                               Рис. 5.11.

Задача 5.8. Методом узловых потенциалов найти токи в цепи, схема которой изображена на рис. 5.12, если , , , , , .

О т в е т: , , , , , .

Задача 5.9. Для схемы приведенной на рис. 5.13, пользуясь методом узловых потенциалов, определить все токи. Дано: , , , , , .

О т в е т: , , , .

         

Рис. 5.12.                                                 Рис. 5.13.

Задача 5.10. Методом узловых потенциалов найти токи в схеме цепи (рис. 5.14), если , , , , , , , , . Потенциал узловой точки 4 принять равным нулю ().

О т в е т:  ,  , ; ,

 ,  ,  ,  .

           

        Рис. 5.14.                                             Рис. 5.15.

Задача 5.11. Методом узловых потенциалов найти токи в схеме (рис.5.15). Дано , , , , , , .

О т в е т:  , , , .

Задача 5.12. Определить показания вольтметров включенных в схеме рис. 5.16, если , , все . Расчет выполнить методом узловых потенциалов.

О т в е т: , , .

Задача 5.13. Определить показание вольтметра в схеме цепи рис.5.17, используя метод узловых потенциалов. Дано: , , , , , , , .  

О т в е т: .

      

   Рис. 5.16.                                           Рис. 5.17.