Математична статистика в гірничо-геологічних розрахунках, страница 9

Перед тим, як вирішувати поставлену задачу, потрібно переконатися, що дисперсії порівнюваних сукупностей однакові (див. п. 4.1). Далі рішення здійснюється в такий спосіб: висувається основна й альтернативна гіпотези. Розглянемо три випадки:

а)   Н0: M(Х) = M(У)    б)   Н0:M(Х) = M(У)     в)   Н0: M(Х) = M(У)

Н1: M(Х) > M(У)          Н1: M(Х) < M(У)          Н1: M(Х) ¹ M(У)

Для перевірки гіпотез за результатами вибірок обчислюємо спостережуване значення критерію

.

Цей критерій є випадковою величиною, що підкоряється закону розподілу Стьюдента з k = n1 + n2 – 2 степенями вільності.

Критичні області і точки залежать від висунутих альтернативних гіпотез H1;

а) Н1: M(Х) > M(У)

Критична область є правобічною. Критична точка знаходиться за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (Додаток Ж, однобічна критична область): tкр = t(a ; k),

де       a – заданий рівень значущості.

Якщо в результаті порівняння виявиться ôTспô < tкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу H0; якщо ж ô Tсп ô > tкр , те нульова

гіпотеза H0 відкидається; приймається гіпотеза H1;

б) Н1: M(Х) < M(У)

Критична область є лівосторонньою. Критична точка знаходиться за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (Додаток Ж, однобічна критична область), тільки з від’ємним знаком:                                                            tкр = – t(a; k),

де       a – заданий рівень значущості.

Якщо в результаті порівняння виявиться Tсп > tкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу H0; якщо ж Tсп < tкр , то нульова гіпотеза H0 відкидається; приймається гіпотеза H1;

в) Н1: M(Х) ¹ M(У)

Критична область є двосторонньою. Критична точка знаходиться за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (Додаток Ж, двостороння критична область):       tкр = t(a; k),

де       a – заданий рівень значущості.

Якщо в результаті порівняння виявиться ô Tсп ô< tкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу H0; якщо ж ô Tсп ô> tкр, то нульовагіпотеза H0 відкидається; приймається гіпотеза H1.

4.3    Порівняння двох імовірностей біноміальних розподілів

Нехай у двох генеральних сукупностях (С1 і С2) виконуються незалежні випробування. В результаті кожного випробування подія А може з'явитися в першій сукупності з невідомою ймовірністю р1, у другий – з невідомою ймовірністю р2.

Маємо параметри вибірок

по С1:          n1 – кількість випробувань;

m1 – частота появи події А в цих випробуваннях,

w1 = m1/ n1– відносна частота (вибіркова частка) події А в сукупності С1.

по С2:          n2 – кількість випробувань;

m2 – частота появи події А в цих випробуваннях,

w2 = m2/ n2– відносна частота (вибіркова частка) події А в сукупності С2.

Потрібно при заданому рівні значущості a установити рівність імовірностей р1 і р2 .

Висунемо основну й альтернативну гіпотези. Розглянемо три випадки:

а)  Н0: р1 = р2      б)  Н0: р1 = р2      в)  Н0: р1 = р2

Н1: р1 > р2           Н1: р1 < р2           Н1: р1 ¹ р2

Для перевірки гіпотез за результатами вибірок обчислюємо спостережуване значення критерію

 .

Критичні області і точки залежать від висунутих альтернативних гіпотез H1;

б)   Н1: р1 > р2

Критична область є правобічної. Критична точка uкр знаходиться з рівності Ф(uкр)= (1–2a)/2 , де функція Лапласа Ф(х) задається таблицею (Додаток Б); a – заданий рівень значущості.

Якщо в результаті порівняння виявиться Uсп < uкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу H0; якщо ж Uсп > uкр, то нульова гіпотеза H0 відкидається; приймається гіпотеза H1;

в)   Н1: р1 < р2

Критична область є лівосторонньої. Спочатку знаходять допоміжну точку uкр' з рівності Ф(uкр')= (1–2a)/2, тоді критична точка дорівнює uкр = – uкр' .

Якщо в результаті порівняння виявиться Uсп > uкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу H0; якщо ж Uсп < uкр, то нульова гіпотеза H0 відкидається; приймається гіпотеза H1.

д)   Н1: р1 ¹ р2

Критична область є двосторонньої. Критична точка uкр знаходиться з рівності Ф(uкр)= (1–a)/2 , де функція Лапласа Ф(х) задається таблицею (Додаток Б).

Якщо в результаті порівняння виявиться ½Uсп½ < uкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу H0; якщо ж ½Uсп½ > uкр, то нульова гіпотеза H0 відкидається; приймається гіпотеза H1.

4.4    Перевірка гіпотези про вид розподілу генеральної сукупності за критерієм Пірсона

Нехай емпіричний розподіл задається інтервальним статистичним рядом

Інтервал

х 1 – х 2

х 2 – х 3

х i – х i+1

х m – х m+1

ni

n 1

n 2

n i

n m

Обсяг вибірки дорівнює n = n 1+ n 2+…+nm .

Потрібно при заданому рівні значущості a перевірити, чи підкоряється генеральна сукупність обраному теоретичному закону розподілу f(x).

Висунемо гіпотези:

Н0: Ознака Х підкоряється закону розподілу f(x)

Н1: Ознака Х не підкоряється закону розподілу f(x)

Для перевірки сформульованих гіпотез за допомогою критерію Пірсона необхідно виконати ряд розрахунків.

а)   визначають по вибірці параметри обраного теоретичного розподілу f(x). Нехай r - число параметрів розподілу.

б)   для кожного інтервалу Х обчислюють імовірності потрапляння ознаки Х в даний інтервал. Для цього використовують формулу з теорії ймовірності

 .

Тут f(x) – диференціальна функція розподілу, F(x) – інтегральна функція розподілу. Для багатьох видів розподілу є таблиці значень f(x) і F(x);

в) визначають теоретичні частоти

.

Оскільки за критерієм Пірсона вимагається, щоб теоретична частота в кожнім інтервалі була не менше п'яти, то в противному випадку допускається об'єднання стоячих поряд інтервалів з малими частотами;

д) обчислюють спостережуване значення критерію (його ще називають критерієм згоди Пірсона):

.

Цей критерій є випадковою величиною, що підкоряється закону розподілу χ2 (Хі – квадрат). Число степенів вільності дорівнює k = m – r – 1,

де       m – число інтервалів статистичного ряду після об'єднання,

r - число параметрів обраного розподілу;