Математична статистика в гірничо-геологічних розрахунках, страница 7

åni(ui+1)2 = 117; åniui2 = 141;  åniui = –37, n = 50

Підставляємо: 117 = 141 + 2·(–37) + 50 . Вірно.

З таблиці знаходимо умовні моменти:

М1 = -37/50 = –0,74; М2 = 141/50 = 2,82.

Вибіркова середня дорівнює:

 1·h +C = –0,74×1,48+8,38= 7,2848.

Вибіркова дисперсія дорівнює:

Dв = [M2 - (M1)2]·h2 = [2,82 – (-0,742]·1,482 = 4,97746.

Вибіркове середнє квадратичне відхилення дорівнює

 2,23102.

S 2 =  5,07905;

 2,25367.

Позначимо результат S у = 2,254.

Отримані результати дозволяють зробити наступні висновки.

Середня продуктивність праці робочого очисного вибою для стругових установок на антрацитових шахтах по вибірці дорівнює 7,28 т за вихід. Середній розкид продуктивності праці робочого очисного вибою для стругових установок на антрацитових шахтах навколо середнього по вибірці дорівнює 2,25 т за вихід.

3 Інтервальні оцінки параметрів розподілу

Інтервальною називають оцінку, що задається інтервалом, який покриває оцінюваний параметр генеральної сукупності. Довірчим називається інтервал (a,b), що із заданою імовірністю g покриває оцінюваний параметр генеральної сукупності. Імовірність g попадання оцінюваного параметра в довірчий інтервал (a,b) називається довірчою імовірністю (надійністю).

3.1    Довірчі інтервали для деяких параметрів розподілу

Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання a нормально розподіленої кількісної ознаки Х при відомому середньому квадратичному відхиленні s генеральної сукупності задається формулою:

,                        (3.1)

де       g = 2Ф(t) – довірча ймовірність; Ф(t ) знаходять за таблицею Додатка 2;

– точність оцінки.

Дана формула застосовується для оцінки математичного сподівання М(Х) = а в двох випадках:

1)  якщо відомо СКВ  s(х)=s;

2)  якщо СКВ невідомо, але обсяг вибірки досить великий
(n > 30). У цьому випадку в якості s беруть її оцінку S.

Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання a нормально розподіленої кількісної ознаки Х при відомому середньому квадратичному відхиленні s генеральної сукупності задається формулою:

,                          (3.2)

де       tg = t(g,n) - знаходять за таблицею Додатка 3;

– точність оцінки.

Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення s нормально розподіленої кількісної ознаки Х задається формулою:

P{S(1 – q) < s <S(1+q)} = g ,   при q < 1                 (3.3)

P{0 < s <S(1+q)} = g ,   при q > 1 .                    (3.4)

Тут виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення S служить оцінкою для генерального середнього квадратичного відхилення s;

q =q(g,n) – знаходять за таблицею Додатка 4;

n – обсяг вибірки; g – довірча імовірність;

d = q×S – точність оцінки.

Довірчий інтервал для оцінки невідомої імовірності p біноміального розподілу по відносній частоті w (вибірковій частці) має вид

P{p1 < p < p2} = g,                                        (3.5)

де       р = Р(А) – невідома імовірність події А;

а кінці інтервалу p1 і p2 визначаються в такий спосіб:

а) загальний випадок:

 ,                     (3.6)

де       n – обсяг вибірки;

g – довірча імовірність;

t – знаходиться з умови 2Ф(t) = g; Ф(t ) знаходять за таблицею Додатка 2;

вибіркова частка w знаходиться за формулою w= m/n, де n – загальне число іспитів; m – число іспитів, у яких з'явилася подія А.

b) Окремий випадок – n велике (порядку сотень):

 ,             (3.7)

с) Окремий випадок – відомий обсяг генеральної сукупності N і n – велике:

,

.                         (3.8)

3.2 Приклади побудови довірчих інтервалів

Приведемо приклади розрахунку довірчих інтервалів.

Приклад1.

Побудуємо 95% довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання і СКВ генеральної сукупності ознаки Х із задачі 1, завдання 4.

Для ознаки Х маємо:

 = 1,14 м; S = 0,16 м; n =50

Для оцінки математичного сподівання використовуємо формулу (3.2)

при g =0,95. За таблицею Додатка 3 знаходимо tg = t(0,95;50)=2,009. Підставляючи у формулу (3.2), одержимо

Остаточно, . Отже, середня потужність
пласта по всій генеральній сукупності знаходиться в межах від 1,09 м до 1,19 м. Надійність цього прогнозу дорівнює 95%.

Для оцінки СКВ по таблиці Додатка 4 знаходимо

q= q(0,95;50)=0,21. Підставляючи у формулу (3), одержимо

P{0,16(1 – 0,21) < s <0,16(1+0,21)} = 0,95.

Остаточно, P{0,13 < s <0,19} = 0,95. Отже, середній розкид потужності пласта навколо середньої по всій генеральній сукупності знаходиться в межах від 0,13 м до 0,19 м. Надійність цього прогнозу дорівнює 95%.

Побудова довірчих інтервалів для ознаки У проводиться аналогічно.

Приклад 2. Об'єднання закуповує партію перфораторів у кількості 1000 шт. За попередньою домовленістю об'єднання бере товар за ціною S, якщо частка нестандартної продукції у всій партії не перевищує 3%; якщо ж ця частка знаходиться в межах від 3% до 8%, то виробник дає знижку на 10%, якщо частка в межах від 8% до 20%, то передбачається знижка на 25%. При долі нестандартного товару більше чим на 20%, об'єднання відмовляється від запропонованої угоди. Для перевірки якості товару була зроблена вибірка обсягом 60 шт. З них не пройшли контроль 6 перфораторів. Чи слід об'єднанню купувати запропоновану партію, і за якою ціною? При розрахунках пропонується взяти надійність прогнозу 90%.

Нехай подія А – перфоратор виявився нестандартним.

Тоді р = Р(А) є невідомою ймовірністю, яку потрібно оцінити по вибірці за результатами іспитів і зробити висновок про можливість та умови угоди.

Запишемо вихідні дані задачі:

N = 1000; n = 60; m = 6; g = 0,9.

Вибіркова частка дорівнює w = 6/60 = 0,1.

Для побудови довірчого інтервалу використовуємо формули (3.5), (3.8).

Маємо : 2Ф(t) = 0,9. Звідси Ф(t) = 0,45. За таблицею Додатка 2 маємо t=1,64. Підставляємо у формулу (5) і знаходимо верхню і нижню границі шуканої ймовірності:

Отже, з надійністю прогнозу 90% можна стверджувати, що відсоток нестандартної продукції у всій закуповуваній партії перфораторів знаходиться в межах від 4% до 16%. Виходить, партію перфораторів можна купити, але при цьому вимагати скидку у виробника на 25%.