Математична статистика в гірничо-геологічних розрахунках, страница 13

Якщо врахувати формули середніх і дисперсії ознак Х и У, то розрахунок можна вести за наступними формулами:

, (5.5)

де

(5.6)

Зауваження 1. Для перевірки правильності розрахунків можна використовувати тотожність:

Зауваження 2. У формулах (5.5) можна використовувати вибіркові середні і дисперсії, знайдені раніше на етапі одномірного аналізу ознак (п.2.2.4), тільки треба обчислити середній добуток за групованими даними (х, у) по кореляційній решітці.

Розрахунок сум, представлених у формулах, зручно робити за допомогою табличного процесора Excel, що є електронною версією таблиць. Для розрахунку в Excel необхідно організувати розрахункову таблицю. Її вид у комп'ютері буде такий (для приклада узята вибірка обсягом n = 5):

б) Вибіркове лінійне рівняння регресії

Вибіркове лінійне рівняння регресії У на Х має вид:

(5.7)

Вибіркове лінійне рівняння регресії Х на У має вид:

(5.8)

У цих рівняннях використовуються наступні оцінки (див. формули (5.6)):

дисперсія ознаки Х;

дисперсія ознаки У;

де – вибіркова середня ознаки Х;

– вибіркова середня ознаки У;

– вибірковий середній квадрат ознаки Х;

– вибірковий середній квадрат ознаки У;

– вибірковий середній додаток ознак Х і У;

– вибіркове СКВ ознаки У;

r_в – вибірковий коефіцієнт кореляції, що обчислюється за формулою:

. (5.9)

Якщо параметри рівняння були розраховані по рівнянню регресії з кутовим коефіцієнтом, то вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою:

. (5.10)

Вибірковий коефіцієнт кореляції r_в є відносний показник, що характеризує силу зв’язку між признаками. При будь-яких розрахунках він знаходиться в межах від –1 до +1.

5.5 Перевірка коефіцієнта кореляції на значущість

Нехай ознаки Х и У розподілені нормально. З генеральної сукупності взята вибірка обсягу n і по ній знайдено вибірковий коефіцієнт кореляції r_в . Треба перевірити гіпотезу про значущість генерального коефіцієнта кореляції r_г .

Висуваються гіпотези:

Основна гіпотеза Н₀ : r_г = 0

Конкуруюча гіпотеза Н₁ : r_г ≠ 0

Для перевірки гіпотези H₀обчислюється спостережуване значення критерію:

Цей критерій є випадковою величиною, що підкоряється закону розподілу Стьюдента з k = n – 2 степенями вільності. Критична область є двосторонньою. За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента (Додаток Ж) визначається критичне значення критерію при обраному рівні значущості помилки a і числі степенів вільності k :

t_кр = t_кр (α; k).

Якщо Т_сп > t_кр , то нульова гіпотеза відкидається. Це означає, що коефіцієнт кореляції значимо відрізняється від нуля, і ознаки Х та У корельовані. У цьому випадку можна казати, що ознаки Х та У зв’язані лінейною залежністю.

Якщо Т_сп < t_кр , то нульова гіпотеза не відкидається. Це означає, що коефіцієнт кореляції незначимо відрізняється від нуля, і ознаки Х та У некорельовані. Прийняття гіпотези Н₀ : r_г = 0 зовсім не означає, що ознаки Х та У незалежні один від одного. Якщо r_г = 0, то звідси випливає тільки те, що ознаки Х та У не зв’язані лінійною залежністю. Отож, вони можуть пов’язані якимсь нелінійним зв’язком.

5.6 Теоретичний коефіцієнт детермінації і теоретичне кореляційне відношення

Теоретичний коефіцієнт детермінації і теоретичне кореляційне відношення визначаються по рівнянню регресії :

, (5.11)

де D_{поясн.рівн.регрес.} – дисперсія результативної ознаки У, пояснена рівнянням регресії;

D_заг – загальна дисперсія результативної ознаки У, які обчислюються за формулами:

(5.12)

де n – обсяг вибірки;

y_i – індивідуальні значення результативної ознаки У ;

– середнє значення ознаки У;

y_i^теор – індивідуальні значення результативної ознаки У, розраховані по рівнянню регресії: y_i^теор=f(x_i).

Якщо рівняння регресії лінійне, то y_i^теор=kx_i + b, а кореляційне відношення збігається з модулем коефіцієнта кореляції η = êr_в ê, коефіцієнт детермінації дорівнює R²= r_в² .

Коефіцієнт детермінації характеризує тісноту зв'язку між ознаками. У кількісній формі він указує, яка частина загальної дисперсії результативної ознаки У пояснюється варіаціями ознаки Х. Наприклад, якщо побудована статистична модель, що описує залежність обсягу добового видобутку вугілля (У) від потужності пласта (Х) і коефіцієнт детермінації дорівнює R² = 0,56, то це значить, що по обраній моделі 56% дисперсії обсягу добового видобутку вугілля пояснюється варіацією потужності пласта.

Для одержання висновків про практичну значимість синтезованих моделей використовуються якісні оцінки, що даються на основі шкали Чедока [8].

R²	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика сили зв'язку	слабка	помірна	помітна	висока	дуже висока

5.7 Нелінійна кореляція

Якщо графік регресії – крива лінія, то кореляцію називають криволінійною. Параметри рівняння криволінійної регресії знаходять за методом найменших квадратів, а в деяких випадках зводять задачу до лінійної регресії шляхом впровадження відповідних замін. Нижче приводяться найбільш типові випадки криволінійної регресії й формули розрахунків її параметрів: