Вступ до аналізу (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 2

Приклад 3. Побудувати графік функції:

у = 2sin3(x - - 1

Це можна зробити в такій послідовності:

а) у₁ = sinx;

б) у₂ = sin(x - - графік функції у = sinx змістився по осі ОХ на величину вправо;

в) у₃ = sin3(x - , графік функції у = sin(x - розтягнувся уздовж осі ОХ в разів (в даному випадку графік у = sin(x - сжався по осі ОХ);

г) у₄ = 2sin3(x - , графік функції у = 2sin3(x - , розтягнувся в 2 рази вздовж осі ОУ;

д) у₅ = 2sin3(x - -1; графік функції у = 2sin3(x - змістився по осі ОУ на одну одиницю вниз , або вісь ОХ підняли на одну одиницю угору по осі ОУ. Графік заданої функції дивіться на рисунку 2:

Рисунок 2

4). Графік функції у = | f₍_x₎| одержують дзеркальним відображенням від осі ОХ від’ємної частини графіка у = f₍_x₎. Графік функції у = f_{( |х-а| )} одержують дзеркальним відображенням від прямої х = а частини графіка функції у = f_(х-а), що побудована при х > а.

Тобто, в цьому разі графік функції у = f_{( |х-а| )} симетричний відносно прямої х = а

Приклад 4. Побудувати графік функції:

у = |2^{|х-1 |} - 2|

Це можна зробити в такій послідовності:

а) у = 2^х;

б) у = 2^х-1 графік функції у = 2^х змістився вздовж осі ОХ;

в) у = 2^|х-1| графік одержують дзеркальним відображенням від прямої х = 1 частини графіка функції у = 2^х-1, що побудована при х > 1;

г) у = 2^|х-1| - 2 цей графік одержують зміщенням графіка функції у = 2^|х-1| вздовж осі ОУ на дві одиниці вниз;

д) у = |2^{|х-1 |} - 2| цей графік одержують дзеркальним відображенням від осі ОХ від’ємної частини графіка у = 2^|х-1| - 2.

Графік заданої функції дивіться на рисунку 3:

Рисунок 3

1.3 Елементи теорії границь. Нескінчено великі та

нескінчено малі величини та їх властивості

Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці.

Означення 1. Якщо кожному натуральному числу n є N поставлено у відповідність деяке дійсне число х_n, то кажуть, що задана послідовність х₁, х₂, ... х_n, ... тобто {х_n}.

Означення 2. Послідовність {х_n} називається збіжною, якщо для будь-якого числа ε > 0 можна знайти такий номер N = N_(ε), що при всіх n > N виконується нерівність:

|х_n-a| < ε,

де число а називається границею послідовності {х_n}, при цьому вживається запис:

х_n = а (1)

Теорема (Вейєрштрасса): Зростаюча послідовність

х_(n) = (1+ )ⁿ обмежена зверху і збігається до деякого числа, яке Ейлер позначив буквою e, тобто:

(1 + )ⁿ = e ≈ 2,7182818 (2)

Означення 3. Число А називається границею функції f₍_x₎при х →х₀ (або в точці х₀), якщо для будь-якого ε > 0 можна знайти таке число δ = δ_(ε)> 0, що при всіх х, які задовольняють нерівність:

|х – х₀| < δ

виконується нерівність | f₍_x₎ - А| < ε, тобто:

f₍_x₎ = А (3)

(або f₍_x₎ → А при х → х₀)

Символічно: ε > 0 δ > 0 х х, |х – х₀| < δ; | f₍_x₎ - А| < ε.

Означення 4. Число А називається правою (лівою) границею функції f₍_x₎, в точці х₀, якщо для будь-якого ε > 0 знайдеться таке число δ = δ_(ε)> 0, що при всіх х, які задовольняють нерівності:

0 < х – х₀ < δ

(0 < х₀ – х < δ), виконується нерівність:

| f₍_x₎ - А| < ε, тобто:

f₍_x₎ = f₍_x_{0 0)} = А (4)

Нехай функція f₍_x₎ визначена при х > х₀ (х < х₀).

Означення 5. Число А називається границею функції f₍_x₎ при х → (х → -), якщо для будь-якого ε > 0 можна знайти таке число N = N_(ε), що при всіх х, які задовольняють нерівність:

|х| > N

виконується нерівність

| f₍_x₎ - А| < ε, тобто

f₍_x₎ = А (5)

(або f₍_x₎ → А, х→+∞; f₍_x₎ → А, х→-∞ )

Означеня 6. Функція f₍_x₎ називається нескінченно великою в точці х₀, якщо для будь-якого М > 0 можна знайти таке δ > 0, що при всіх х, які задовольняють нерівність |х – х₀| < δ

Виконується нерівність | f₍_x₎ | > М; тобто:

f₍_x₎ =

Нескладно визначити також односторонні нескінченні границі

f₍_x₎ =

Означення 7. Функція f₍_x₎ називається нескінченно малою при х → х₀ (або в точці х₀), якщо f₍_x₎ = 0

Теорема 1. Для того, щоб функція f₍_x₎ мала в точці х₀ границею число А, необхідно й достатньо, щоб в околі точки х₀ виконувалось співвідношення

f₍_x₎ = А + _(х),

де - _(х) – нескінченно мала в точці х₀.

Теорема 2. Сума (різниця), добуток нескінченно малих є нескінченно мала.

Теорема 3. Добуток нескінченно малої функції на обмежену функцію є нескінченно мала.

Теорема 4. Якщо _(х) – нескінченно мала в точці х₀, то функція f₍_x₎ = є нескінченно велика в цій точці і навпаки.

1.4 Властивості границь. Важливі границі та їх застосування

Розглянемо основні теореми про властивості границі функції.

Теорема. Якщо функції f₍_x₎ і φ₍_x₎ мають границі в точці х₀:

f₍_x₎ = А, ₍_x₎ = В,

то функції [f₍_x₎± φ₍_x₎ ]; f₍_x₎ φ₍_x₎; (при В ≠ 0) також мають границі в точці х₀, при чому:

1). [f₍_x₎± φ₍_x₎ ]= А ± В

2). [f₍_x₎ φ₍_x₎ ]= А В

3). = ( В ≠ 0 )

Наслідки:

1). [с f₍_x₎] = сf₍_x₎, де с – довільна стала.

2). [ f₍_x₎]^m = [f₍_x₎]^m, де m N

3). Нехай f₍_x₎, φ₍_x₎, g₍_x₎ – функції, визначені на множині Х, Х виконуються нерівності: f₍_x₎ ≤ φ₍_x₎ ≤ g₍_x₎_.

Тоді, якщо існують границі f₍_x₎ = g₍_x₎ = А, то існує і границя функції φ₍_x₎ у точці х₀, при чому φ₍_x₎= А.

Зауваження. При обчисленні [f₍_x₎- φ₍_x₎ ], , коли f₍_x₎ і φ₍_x₎ – нескінчено великі [∞ - ∞, ], або коли f₍_x₎і φ₍_x₎– нескінчено малі [, 0×∞] виникають невизначеності і обчислення границь в цих випадках називається розкриттям невизначеності.