Векторний добуток векторів та його властивості. Аналітична геометрія в просторі та на площині (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 6

М₁ (х₁, у₂) і М₂(х₂, у₂).

у = у₀ + к (х – х₀)  (9) – рівняння прямої, яка проходить через точку М₀(х₀, у₀) і має кутовий коефіцієнт к.

 (10) – рівняння прямої у відрізках на осях координат, де А(а, 0) і В(0, в) – різні точки перетину прямої L з осями координат.

 (11) – нормальне рівняння прямої, в якому р – довжина перпендикуляра до прямої, опущеного з початку координат, a- кут між цим перпендикуляром і віссю ОХ.

Умови паралельності прямих (L₁ || L₂):

1) , де ,  вектори, перпендикулярні до прямих (L₁ || L₂).

2) , де ,   - векторі, паралельні до прямих (L₁ || L₂).

3) к₁ = к₂, де к₁ і к₂ – кутові коефіцієнти прямих (L₁ || L₂).

Умови перпендикулярності прямих :

1) А₁А₂ + В₁В₂ = 0         

2) m₁m₂ + n₁n₂ = 0         

3)                 

Кут j між двома прямими:

1)   2)   3)

Відстань d від точки М^*(х^*, у^*) до прямої, загальне рівняння якої (4) Ах + Ву + С = 0, можна знайти за формулою:

       (11)

Приклади. Дано три вершини трикутника АВС А(1, 1),    В(4, -2) і  С(2, 8). (рис. 16)

1.  Побудувати трикутник АВС в декартовій системі координат на площині ОХУ.

2.  Знайти загальне рівняння прямої, на якої лежить медіана АN.

Розв’язання.

Знайдемо координати точки N– середини відрізка ВС за формулами

   тобто

Рисунок 16

   .

Таким чином, N(3, 3).

За двома точками знайдемо рівняння прямої АN:

,  х = у, або

L₁  AN:  х – у = 0.

3.  Знайти загальне рівняння прямої, на якої лежить сторона ВС трикутника АВС.

Розв’язання.

Знайдемо напрямний вектор  прямої ВС, тобто ,  та запишемо рівняння прямої у вигляді:

,

-5(х - 4) = у + 2, -5х – у + 18 = 0

4.  Знайти рівняння прямої, на якої лежить висота АН трикутника АВС.

Розв’язання.

 - вектор перпендикулярний до висоти трикутника АВС, проведеної через вершину А, тобто , тому

  -2х + 10у - 8 = 0

5.  Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку А і паралельна до прямої ВС.

Розв’язання.

Оскільки напрямний вектор прямої ВС є вектор , то рівняння прямої L₄можна записати у вигляді:

, або

-5(х - 1) = у – 1

L₄: 5x + у – 6 = 0

6.  Знайти проекцію точки А на пряму ВС (координати        точки Н).

Розв’язання.

Цією точкою є точка Н, яка знаходиться як точка перетину двох взаємно перпендикулярних прямих ВС і АН, тобто

Розв’яжемо цю систему лінійних рівнянь за формулами Крамера.

  

 

Одержимо, що проекція точки А на пряму ВС є точка .

7.  Знайти відстань точки А від прямої ВС.

Розв’язання.

Відстань точки d = АН знайдемо за формулою

, тобто

, оскільки рівняння прямої, на якої лежать сторона ВС є рівняння

8.  Знайти довжину висоти АН, як відстань між двома точками А і Н.

Розв’язання.

Відстань між двома точками d = АН знаходиться за формулою:

, або

d = АН » 2,4

9.  Знайти кут між прямими AN і АН.

Розв’язання.

Маємо  - пряма, яка має нормальний вектор ,

 пряма, яка має .

Таким чином, , або

 

4.6 Криві другого порядку

Загальне рівняння кривої другого порядку в декартовій системі координат на площині ОХУ має вигляд:

Ах² + Ву² + Сху + Dх + Еу + F = 0 (1),

Де хоча б один з коефіцієнтів А, В, С відмінний від нуля, тобто використовується умова

А² + В² + С² ¹ 0

Не обмежуючи спільності, можна вважати, що загальний вид рівняння другого степеня з двома змінними має п’ять членів, тобто С = 0. Розглянемо такі випадки:

1.  - однакові знаки. Крива буде еліпсом.

2.  - протилежні знаки. Крива буде гіперболою.

3. , але А² + В² ¹ 0. Крива є парабола.

В інших випадках рівняння (1) описує пару прямих (можливо таких, які збігаються), або уявну криву.

Наприклад, х² + у² = 0,  х² - у² = 0.

Означення 1. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох фіксованих точок F₁ і F₂площини, що називаються фокусами, є величина стала, тобто

F₁M + F₂M = 2а  (1),

де М – довільна точка еліпсу, а = const (див. рис. 17.)

Введемо на площині декартову систему координат так, щоб координати фокусів еліпса відносно цієї системи були F₁(-с, 0) і     F₂(с, 0). Позначивши довільну точку еліпса через М(х, у), можна одержати канонічне рівняння еліпса:

, де   (2)

Означення 2. Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами цього еліпса до довжини його більшої осі (2а), тобто

  (3)

Оскільки с < а, то Е < 1. У випадку кола в = а,                              Е = 0 (х² + у² = а²)

Таким чином,  і характеризує форму еліпса.

Означення 3. Директрисами називаються дві прямі, перпендикулярні до більшої осі еліпса і розташовані симетрично відносно центра на відстані  від нього.

Рівняння їх у вибраній системі координат мають вигляд

 (4)

Означення 4. Гіперболою називається геометричне місце точок площини, для яких абсолютна величина різниці відстаней до двох фіксованих точок F₁ і F₂ площини, що називаються фокусами, є величина стала, тобто

 (5) (див. рис. 18)

Канонічне рівняння гіперболи в декартовій системі координат ОХУ має вигляд

, де   (6)

Ексцентриситет гіперболи також характеризує форму її та знаходиться за формулою

.

У цьому випадку стала величина 2а називається дійсною віссю гіперболи. Оскільки , то .

У випадку равностороньої гіперболи а = в,

Означення 5. Асимптотами гіперболи називаються дві прямі, до яких прямують вітки гіперболи при  . Вони є діагоналями прямокутника, сторони якого дорівнюють 2а і 2в, тобто мають рівняння

 (8)

Означення 6. Директрисами гіперболи називаються дві прямі, перпендикулярні до дійсної осі гіперболи (яка її перетинає) і розташовані симетрично відносно центра на відстані  від нього.

Рівняння їх мають вигляд:

 (9)

Гіпербола має вигляд кривої, зображеної на рис. 19.

Означення 7. Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки F, що називається фокусом, і фіксованої прямої, яка називається директрисою.