Условия однозначности (пространственные или временные условия). Тепловой поток. Тепловое подобие

1.

Ур-е температурного поля этого эл-та в диф-ой форме может быть получено из закона сохранения энергии и будет равно: dQ_т=dQ_в+dQ_u; dQ_т-изменение теплосодержания элемента; dQ_в- теплота полученная эл-том извне ч/з его границы путем теплопроводности; dQ_u- теплота источников внутри тела; Сумма количеств теплоты, прошедшее ч/з 6 граней эл-та определит теплоту получаемую телом извне: dQ_в= dQ_х+ dQ_y+ dQ_z- dQ_х+dx- dQ_y+dy-dQ_z+dz;  dxdydz=dV;

 ;  dQ_u=q_udVdτ; ;

 q_u-теплота выдел-я в объёме тела; с-теплоёмкость мат-ла; ρ-плотность мат-ла;

; Это выражение есть общая форма диф-го ур-я теплопровдности или ур-е температурного поля. Это ур-е устанавливает зависимость темп-ры от координат и времени в диф. форме.

Если теплопроводность мат-ла не зависит от координат и темп-ры, то ур-е примет вид:

       - оператор Лапласа;

  - коэф. температуропроводности;

В случаях, когда темп-ра не зависит от 1 или 2х координат, соотв-но будут отсутствовать 1 или 2 слагаемых и темп-е поле будет называться одномерным или двухмерным.   

2.

Условия однозначности включают в себя пространственные или временные условия:

Пространственные условия определяются:

а) формами и размерами обл-ти или тела для которого опр-ся темп.поле;

б) распределением или полем физ-их св-в. Физ-е св-ва могут быть одинаковыми для всей области или зависеть от темп-ры и тогда они будут переменными в разл. частях тела;

в)  граничные условия ( условия на границе области) они могут быть заданы по-разному:

-  на границе области задана темп-ра, она может быть пост-ой или изменяться во времени, такие условия называют граничные условия 1го рода; t_г=f(x,y,z,τ);

-   задана плотность теплового потока для всех точек грницы области - граничные условия 2го рода; q=f(x,y,z,τ);

-    задана темп-ра среды, контактирующей с пов-тью тела и закон ткплообмена м/у ними. Чаще всего этот закон представлен в виде простейшего ур-я Ньютона - граничные условия 3го рода;

dQ=α(t_ср-t_г)dF; t_ср- темп-ра среды задана; α- коэф.теплообмена задан;

-    граница области (тела) контакт-го с другим телом и этот контакт абсолютен, при этом равенство темп-р тел и плотностей тепловых потоков на пов-ти контакта задаются выр-ми- граничные условия 4го рода; t_г1=t_г2; q_г1=q_г2;

При решении практических задач задаются условия 3го и 4го рода.

г) временные или начальные условия. Определяет темп-е поле в некоторый момент времени; t=f(x,y,z) τ=0.

3.

Кол-во тепла проходящее ч/з пов-ть площадки в единицу времени называется тепловым потоком (Вт, Дж, Ккал/ч)

Поток отнесенный к площади называется удельным тепловым потокам q (Вт/м², Дж/м², Ккал/м²)

Закон Фурье: кол-во тепла переданным теплопроводностью ч/з элементарную площадку изотермической поверхности пропорционально grad t взятого с обратным знаком, времени и величине этой площади. ;  dQ- кол-во тепла или тепловой поток. 

λ-коэф.теплопроводности; - вектор, хар-щий изменение темп-ры по направлению;

- размер эл-ой площадки; - интервал времени; ;

q- удельный тепловой поток;

4.

Тепловое подобие определяет условие при котором системы подобные геометрически и механически подобны и тепловом отношении.

1.- число Фурье. Этот комплекс Фурье как и число гомохромности устанавливает сходственные моменты времени.

2.  - число Пекле. Определяет влияние на теплообмен дв-я жидкости.

Число Пекле можно преобразовать, представив в виде произведения комплексов:  Такая замена удобна, т.к. число Re – число гидромеханического подобия, а Pr  составлен только из теплофизических хар-к ж-ти и соотв. хар-ет её.

3. - число Нюсельта. Хар-ет условие теплообмена м/у ж-тью и стенкой.

Таким образом при тепловом подобии 2х или неск-их систем критерии Фурье, Пекле, Нюсельта для сходственных точек должны иметь одинаковые значения.

5.

При λ=const.  - распределение темп-ры в стене;

( Вт/м²) - тепловой поток → ;       - темп-ое поле;

При q=const и λ= const – это ур-е прямой линии.

При λ=f(t). В большинстве случаев это линейная зависимость и можно принять λ=λ₀(1+bt);

λ₀ – коэф.теплопроводности при t=0⁰С. b – эмпирич-й коэф-т.

подставим λ в ур-е Фурье:  ;

   параболическая зависимость.

 6.

 (м^{2 0}С/Вт) - однослойная стенка;

(м^{2 0}С/Вт) – многослойная стенка;

λ – коэф.теплопроводности (ккал/м ч ⁰С).

7.

(м ⁰С/Вт)   линейное термическое сопр-е однослойной цилиндр-й стенки, т.е. терм-ое сопр-е отнесенное к одному погонному метру длины.

 (м ⁰С/Вт)    термическое сопр-е многослойной цилиндр-й стенки

λ – коэф.теплопроводности (ккал/м ч ⁰С).

8.

При решении практических задач пользуются численными методами: метод конечных разностей, гидротепловой и электортопловой аналогии и исп-е цифровых ЭВМ. В аналитических методах широко применяются данные теории подобия.

Метод конечных разностей основана допущении возможности замены неприрывного процесса изменения темп-ры скачкообразным как в пространстве, так и во времени. Диф.ур-е теплопроводности заменяются ур-ми в конечных разностях. ; Δτ – конечн.приращ-е темп-ры  в ⁰С;  Δz – конечн.приращ-е времени в ч;Δx – толщины эл-х слоев в м;   а – коэф.температуропроводности м²/ч;

;      

Общ. ф-ла для  опред-ой темп-ры в любой плоскости ч/з интервал времени Δz по темп-ам в этой пл-ти и в 2х соседних пл-тях в предыдущий момент времени z. Т.о. расчет изменения темп-ры во времени сводится к последовательному вычислению темп-р во всех пл-тях ч/з равные интервалы времени Δz по ф-ле: . В частном случае, еслт подобрать =0.5, то ф-ла примет вид : .

9.     

Процесс конв.теплообмена м/у стенкой и жидкостью представляет собой сложное явление и зависит от условий теплообмена на границе(пограничном слое) и от того на сколько интенсивно теплота подводится или отводится от пограничного слоя, т.е. от условий распределения тепла в ж-ти. Поскольку теплообмен опр-ся не только тепловым, но и гидравл-ми явлениями, то он описывается системой ур-й:

1)  Условие теплообмена на границе ж-ть-стенка: ;