Движение в центральном поле. Законы Кеплера

Движение в центральном поле. Законы Кеплера (12):

Законы движения небесных тел, в частности законы движения планет вокруг

Солнца являются следствиями законов движения Ньютона. Законы движения

небесных тел установлены Кеплером.

I закон: Орбитами всех планет являются эллипсы в одном из фокусов которых находится Солнце.

II закон: Движение каждой планеты происходит так, что радиус-вектор, проведенный из центра Солнца к планете за равные промежутки времени

описывает равные площади.

III закон: Квадраты периодов обращения различных планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей.

Второй закон Кеплера является следствием из закона сохранения момента импульса т.е.    L=, m=const

Действительно преобразуем выражение    , m=r , m

, =t .

Выясним смысл векторного произведения.

   , =sin(, ).

                                                                    sin(,)=;

                                                                      =2

Обозначая площадь треугольника вектором причем вектор этот перпендикулярен, получим , =2=t  =.

Если =const, m=const то интегрируя получим:

=() =.

III закон  Кеплера легко доказать, если считать, что орбитами всех планет являются окружности. На самом деле для каждой орбиты существует эксцентриситет.  

Эксцентриситет – Величина, которая характеризует, на сколько вытянут.

= 0,017;  = 0,205.  Пусть планета имеет массу , круговую орбиту  и период обращения  ;

Вторая планета – , , .

Для первой планеты

 = ;          =  =  .

Период обращения планеты  =  =  , а по аналогии

По аналогии для второй планеты

 =    = .

= . Возведем в квадрат =  ; =   

= ; =   =  

=  =  = .

I закон Кеплера:

Вид орбиты определяется начальной скоростью планеты.

1.)= – круговая орбита.

2.) Если < . Тогда в этом случае орбитой является эллипс и Солнце

     находится в дальнем фокусе.

3.) Если >  то орбита – Эллипс и Солнце находится в ближнем фокусе.

4.) Если =  – орбита – парабола.

5.) >  – Орбита – гипербола; Небесное тело не является планетой.