Основные технические характеристики ЦИП и АЦП, страница 2

Рассмотрим сначала погрешность дискретности. Возь­мем времяимпульсный цифровой вольтметр (ВИ ЦВ) и будем считать, что преобразователь U_ в  и Gидеален. Формула (1.5) была написана при допущении, что по­грешности отсутствуют, в том числе и погрешность дис­кретности.   Обратим   внимание   на два обстоятельства: а) сигналы 1 и 2 (рис. 1.3,6)   несинхронизированы, т. е. их взаиморасположение во времени произвольно; б) сигнал 1 неизменен,   а длительность импульса в сигнале 2 может принимать бесчисленное множество значений — это непрерывная величина (Н). На рис. 1.11,а показано наихудшее в некотором смысле взаиморасположение сигналов 1 и  2 и соотношение между  и Т_о ( равно целому ко­личеству периодов Т₀).   Действительно, в этой ситуации малейшие смещения сигнала 2 и малейшие изменения могут давать три результата: N— 1; N; N+1. Поскольку само значение , а значит, и U_ практически неизменны, это означает,   что может возникать абсолютная погреш­ности ±q. При любом другом взаиморасположении сигналов 1 и 2 при любом соотношении между и Т₀ эта погрешность будет меньше. Но это ещё не погрешность дискретности. Здесь действуют два упомянутых выше фактора: во-первых, асинхронность сигналов 1и 2; во-вторых, округление непрерывной величины до ближайшего уровня дискретной величины NT₀.

Первый фактор обусловлен некоторым несовершенством структуры преобразования в код, и его можно устранить, усовершенствовав эту структуру (рис. 1.11,б). Здесь начала импульса Пуск переходом сигнала 1(рис. 1.11,в), а на счетчик импульсов воздействуют переходы . Этим достигается не только синхронизация, но и такое взаиморасположение сигналов 1 и 2, при котором остается только второй фактор – округление до ближайшего уровня NT₀ , что обуславливает абсолютную погрешность, не выходящую за пределы  Это – в чистом виде погрешность дискретности. На рис 1.11,г показана зависимость результата измерения Nqот значения измеряемой величины  U_ рассматриваемого ВИ Ц при отсутствии всех инструментальных погрешностей, а также зависимость абсолютной погрешности дискретности от U_. Как видно,

(1.8)

Рис. 1.11

Относительная и приведенная погрешности дискретности соответственно определяются формулами

(1.9)

(1.10)

Формулы (1.8)-(1.10) справедливы не только для ВИ ЦВ, но и для любых ЦИП и АЦП; то же самое можно сказать и о рис 1.11, г, если по оси абсцисс откладывать не U_, а любую измеряемую(преобразуемую) величину Х.

Пример. Для ЦВ с диапазоном измерения В имеем U_ном=1 В; q=10 мкВ; N_ном=10⁵, следовательно, мкВ;

Всю совокупность значений погрешности дискретности можно рассматривать как функцию случайной величины, а именно – значений измеряемой величины Х. Естественно считать, что значения Х в пределах каждого кванта равновероятны. Тогда закон распределения погрешности дискретности – это закон равномерной плотности. На рис. 1.11,д показана плотность распределения абсолютной погрешности дискретности

График симметричен относительно оси ординат, т. е. математическое ожидание погрешности дискретности

а дисперсия определяется выражением

(1.11)

Соответственно среднее квадратическое отклонение

.                                (1.12)

Из (1.8) — (1.12) следует, что все характеристики по­грешности дискретности известны, если известны qи N_ном. Эти характеристики не требуют экспериментальной про­верки.

Перейдем теперь к инструментальным  погрешностям и вернемся к ВИ ЦВ. Из двух инструментальных погрешно­стей этого ЦВ, а именно  — от несовершенства генера­тора импульсов Gи —от несовершенства преобразова­теля U_ в  (рис. 1.11,б),рассмотрим только , считая . Несовершенство Gпроявляется в том, что из-за некоторой неточности установки и нестабильности дейст­вительное значение частоты импульсов сигнала 1 несколь­ко отличается от номинального:

Это приводит к тому, что действительное значение кван­та этого ЦВ тоже будет несколько отличаться от номинального.

В самом деле, для этого ЦВ имеем

где S — коэффициент преобразования U_ в ;

Отсюда

Приближенность равенств в последних двух формулах связана с тем, что в них не учитывается погрешность дис­кретности .

При f₀=f_0ном и S=S_ном имеем q=q_ном, но при  и S=S_hom квант , Пусть для определенности , тогда . В этом случае

следовательно, общая абсолютная погрешность

На рис. 1.12,а показана зависимость результатов изме­рения q_номN  от значений U_ для нескольких первых кван­тов с учетом , а на рис. 1.12,6 — с учетом только . Из рисунка видно, что наличие  соответствует изме­нению наклона прямой линии, выражающей функцию преобразования ЦИП, по отношению к номинальной. Такая погрешность называется мультипликативной. В общем слу­чае инструментальная погрешность ЦИП может содержать, три составляющие: мультипликативную, аддитивную и не­линейную (рис. 1.13). Аддитивная соответствует парал­лельному смещению прямой линии, выражающей функцию преобразования ЦИП, по отношению к ее номинальному положению (рис. 1.13,г), а нелинейная — отклонению от прямолинейности (рис. 1.13,ж). Абсолютное () и при­веденное () значения мультипликативной составляющей линейно зависят от значений измеряемой величины X(рис. 1.13,6), а относительное значение () не зависит (рис. 1.13,в).

Рис. 1.12. Зависимость результатов измерения от значений измеряемого напряжения.

У аддитивной составляющей, напротив, абсолютное () и приведенное () значения не зависят от X(рис. 1.13,д), а ее относительное значение (|6_и.а) обратно про­порционально X, поэтому аддитивная составляющая как бы «хуже» мультипликативной: при  У нелинейной составляющей все три ее значения ,  и  (рис. 1.13,з, и) нелинейно зависят от X. На рис. 1.13,ж Показана монотонная нелинейность. В некоторых случаях, например, в кодоимпульсных ЦИП, она может иметь гораздо более сложный характер, с неравномерными скачками и разрывами.

Само название «нелинейная» не требует пояснений. Заметим только, что если говорить о ней как о самостоятельной погрешности, то лучше пользоваться термином «погрешность линейности» или «погрешность из-за нелинейности».

Что же касается названий «мультипликативная» и «аддитивная», то они требуют пояснения. Если считать, что нелинейная составляющая отсутствует, то результат цифрового измерения можно представить в виде

Откуда видно, что учет мультипликативной погрешности требует умножения (miltiply), а аддитивной – добавления add. Здесь уместно ненадолго вернуться к погрешности дискретности, чтобы выяснить, нельзя ли и ее отнести к какому-либо из трех видов, как и составляющие инструментальной погрешности.

Если рассматривать всю совокупность возможных её значений в соответствии с рис. 1.11,в (1.8)-(1.10), то её можно назвать погрешностью линейности, если же брать только максимально возможные значения, то сами они имеют аддитивный характер, причем это симметричная двухзначная аддитивность