Методи математичної фізики в описі електромагнітного поля, страница 5

Цю тотожність широко використовують в теорії електромагнітного поля.

З формули (5.1) видно, що лапсасіан вектора дорівнює

=-,                                    (5.2)

тоді як лапсасіан скаляра

=.                                          (5.3)

Електромагнітне поле через призму теорії поля

Закон збереження електричного заряду

Закон збереження електричного заряду можна виразити такою рівністю:

=,                                                    (6.1)

де  - об’ємна густина електричного заряду;  - густина струму; вектор  за напрямом такий самий, як напрям струму; за абсолютною величиною вектор  дорівнює силі струму, що припадає на одиничну площинку, розміщену перпендикулярно до напрямку руху зарядів.

За теоремою Гаусса-Остроградського можна записати

=.                                                 (6.2)

Оскільки об’єм V в цій рівності цілком довільний, можна ототожнити підінтегральні вирази

=.                                                       (6.3)

Отже, використавши теорему Гаусса-Остроградського, отримали закон збереження електричного заряду в диференціальній формі.

Закон електромагнітної індукції

Цей закон є узагальненням відомих експериментів Фарадея по збудженню струму в замкнутому провідному контурі при зміні  магнітного потоку , що пронизує контур:

всяка зміна магнітного поля  збуджує в просторі електричне поле, циркуляція напруженості  якого по довільному замкнутому контуру дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через цей контур.

Закон Фарадея виражають формулою:

,                                                     (6.4)

де Е – циркуляція вектора електричної напруженості  по контуру С, виміряна у вольтах, , а Ф – магнітний потік через контур С, виміряний у веберах, тобто потік вектора магнітної індукції  через поверхню S: .

Підставляючи Ф і Е в (6.4), дістанемо:

=.                                             (6.5)

Знак мінус означає, що напрям електрорушійної сили індукції (технічний напрям індукційного струму в провідному контурі) утворює з напрямом зростання потоку індукції через контур гвинт з лівою різзю.

За формулою Стокса перетворимо циркуляцію  в потік  і перепишемо формулу (6.5) так:

=.                                             (6.6)

Ця рівність справедлива для будь-яких поверхонь S ; тому

.                                                     (6.7)

Напрям  проектування  може бути довідьним, так що з рівності проекцій векторів (на довільний напрям) випливає також рівність самих векторів:

.                                                       (6.8)

Це так зване друге рівняння Максвела теорії електромагнітного поля. Рівність (6.8) виконується в кожній точці поля. Друге рівняння Максвела є одним з основних рівнянь теорії електромагнітних процесів.

Рівняння магнітостатики

Нехай в деякому середовищі задано магнітне поле, утворене постійними магнітами або постійним електричним струмом,  - вектор магнітної напруженості;  - густина струму,  - коефіцієнт магнітної проникності середовища. Напрям вектора  визначається правилом гвинта з правою різзю.

В якості відправних пунктів при складанні диференціальних рівнянь, яким повинен задовольняти вектор , візьмемо дві рівності, які можна вважати експериментально перевіреними:

=,                                    (7.1)

,

де с – електродинамічна стала.

Перше з цих рівнянь є узагальненим законом Біо-Савара-Лапласа, друге – закон збереження силових ліній вектора  (опис в даному і наступному розділах зроблено в системі одиниць СГС), утвореного векторм  та додатковим вектором, що отримується за рахунок намагнічування середовища. Використавши формули Стокса та Остроградського–Гаусса, отримаємо так звану систему рівнянь магнітостатики:

,.                                          (7.2)

У випадку, якщо =0 магнітне поле буде потенціальним = і потенціальна функція u буде задовольняти рівняння , яке у випадку однорідного середовища співпаде з рівнянням Лапласа:

.                                                   (7.3)

Можна показати, що поле магнітної індукції, яке описується законом Біо-Савара-Лапласа

,                                                (7.4)

є соленоїдальним з векторним потенціалом , де  - магнітна стала.

Досить переконатись, що =. Маємо

==.

Але за формулою (2.23)

===,

(оскільки густина струму  в елементі dV не залежить від координат точки спостереження, в якій визначаються ,, і тому ) тому

==,

що й потрібно було показати.

Рівняння Максвелла

Нехай в деякому середовищі дано змінне магнітне поле,  - напруженість цього поля,  і  - діелектрична і магнітна проникності середовища. В силу експериментально встановленого закону Фарадея зміна магнітного поля індукує напруженість електричного поля. Нехай  - напруженість електричного поля.

Математично вказаний закон Фарадея можна записати так:

=.                                     (7.5)

Використовуючи теорему Стокса, цю рівність можна переписати

.                                             (7.6)

В якості другого рівняння для визначення  і  можна взяти перше з рівнянь магнітостатики (7.2) у вигляді

,

де  - струм провідності, а зм – струм зміщення, який можна визначити як

.                               (див. 1, ст.21)

Таким чином, отримаємо наступне диференціальне рівняння

,                                            (7.7)

де  - струм провідності, що визначається законом Ома

=,

де  - коефіцієнт провідності середовища.

Отримані рівняння доповнюються ще рівняннями

, ,                                       (7.8)

які є сумісними з рівняннями (7.6) і (7.7).

Справді, з рівняння (7.6) та з рівняння неперервності

слідує

=, .

З рівняння (7.7) отримуємо

, .

Таким чином, видно, що рівняння (7.8) накладають тільки деякі обмеження на вибір перших двох рівнянь в початковий момент часу.

Розв’язок системи рівнянь електродинаміки

,

,

,

                                                    (7.9) в багатьох загальних випадках можна знайти через допоміжні потенціальні функції.

Нехай, наприклад, середовище є однорідною і непровідною, тобто . Тоді четверте рівняння (7.9) запишеться