Физика \ Методы математической физики

Методи математичної фізики в описі електромагнітного поля, страница 4

Векторне поле називають потенціальним (М) в області V ,якщо існує така однозначна скалярна функція, задана вV , що в усіх точках цієї області

. (3.1)

Функцію називають скалярним потенціалом векторного поля(М) . Потрібно відзначити , що векторний потенціал визначається з точністю до деякої сталої, в цьому можна переконатися, розглянувши скалярний потенціал підставити його у формулу (3.1).

Критерій потенціальності поля

Необхідною і достатньою умовою того, щоб в однозв’язній області векторне поле було потенціальним, є виконання в усіх точках області рівності

=0. (3.2)

В необхідності умови (3.2) легко переконатися безпосереднім обчисленням. Справді, якщо поле потенціальне, то за означенням і

Аналогічно переконуємось, що і .

Достатність умови можна встановити так. Якщо облась V поля однозв’язна і C– довільний замкнений контур у полі, то завжди можна „натягнути” на контур Cдеяку поверхню Sтак, щоб вона цілком лежала в області V. В такому разі для довільного замкнутого контура C і обмеженої ним поверхні S за формулою Стокса () та з умови (3.2) випливає, що

=0,

тобто циркуляція вектора поля по довільному замкненому контуру C в однозв’язній області V дорівнює нулю.

Соленоїдальне (трубчасте) векторне поле

Векторне поле (М) називають соленоїдальним в області V, якщо існує інше таке векторне поле , задане в області V, в усіх точках якої

=. (3.3)

Функцію називають векторним потенціалом поля . Векторний потенціал поля визначається з точністю до градієнта, в чому можна переконатися безпосереднім обчисленням.

Необхідною і достатньою умовою соленоїдальності поля є рівність нулю його дивергенції, тобто виконання в усіх точках області умови

=0. (3.4)

Необхідність умови перевіряється безпосередньо.

На основі (3.3) і (3.4) маємо:

=++=++==0,

бо всі похідні взаємно знищуються.

Достатність умови (3.4) обґрунтовується безпосередньою побудовою векторного потенціалу .

Лапласівське (гармонічне) векторне поле

Векторне поле називають лапласівським, якщо в кожній точці області справджуються рівності

, (3.5)

. (3.6)

Отже, лапласівське поле є водночас потенціальним і соленоїдальним.

З умови (3.5) випливає, що існує скалярний потенціал поля, тобто

Підстановка цього виразу для в (3.6) дає

або

. (3.7)

Отже, лапласівське поле в однозв’язній області цілком визначається скалярним потенціалом , який задовольняє рівняння (3.7).

Основна задача векторного аналізу

Основна задача векторного анлізу формулюється так: знайти в певній області поле ,якщо в ній задано і .

Точніше, вважається, що в кожній точці Р певної області V справджуються рівності

=. (4.1)

Тут і - задані в області V і неперервні в ній функції (крім того функція повинна задовольняти умову , тому що ).

В курсі диференціальних рівнянь доводиться, що система (4.1) має частинний розв’язок такого вигляду:

=+, (4.2)

де М – біжуча точка області V; Р – точка, в якій визначаємо вектор поля; r_PM – віддаль між точками Р і М; dV_M – елемент об’єму в точці М ; і - значення функції в точці М .

Загальний розв’язок системи (4.1) матимемо, коли до частинного розв’язку (4.2) додамо загальний розв’язок однорідної системи

. (4.3)

Було показано, що система (4.3) визначає гармонічне (лапласівське) поле. Отже, загальний розв’язок неоднорідної системи (4.1) дістанемо, додавши до (4.2) довільне гармонічне поле

=+, (4.4)

де - частиний розв’язок (4.2), а - довільне гармонічне поле.

У фізичних застосуваннях найчастіше буває, коли шукане поле розглядається в усьому просторі і до того ж воно рівномірно спадає до нуля при необмеженому віддаленні точки Р в нескінченність. Щодо функцій і , то вони повинні бути відміні від нуля тільки в скінченній частині простору. За цих умов гармонічне поле , як виявляється, тотожно дорівнює нулю і тому відповідний єдиний розв’язок задачі подається тільки формулою (4.2).

Отже, в звичайних фізичних застосуваннях:

1) векторне поле однозначно визначається в усьому просторі за формулою

=+, (4.5)

деR – весь простір, а функції і відмінні від нуля лише в скінченній частині простору (тут , );

2) якщо поле має джерела , тоді як густина циркуляції рівна нулю, то визначається за формулою

=, (4.6)

отже, в цьому випадку поле потенціальне; його цого скалярний потенціал дорівнює

=; (4.7)

3) якщо густина циркуляції відміна від нуля, а густина джерел дорівнює нулю, то з (4.5) знаходимо

=, (4.8)

тобто поле вектора соленоїдальне; його векторний потенціал дорівнює

=. (4.9)

Диференціальні операції другого порядку

Розглянемо диференціальні операції, які дістають двократним застосуванням оператора . Можна утворити тільки п’ять таких диференціальних операцій другого порядку: