Властивості бета та гамма функцій Ейлера, страница 3

§ 6 Наближене обчислення Ейлерових функцiй на ЕОМ.

Раніше, в часи ручних обчислень , ми були як правило, зацікавлені в тому, щоб мати широку таблицю, яка б дозволяла обчислювати значення функції з допомогою найпростіших інтерполяцій. Зараз же, використовуючи при обчисленнях ЕОМ, ми дуже часто зацікавлені в тому, щоб мати таблицю мінімального об’єму, навіть якщо алгоритм знаходження функції досить складний. Таким чином , виникає задача побудови оптимальних за об’ємом таблиць.

Запропонована книга Ю.Люка “Спецыальные математические функции и их аппроксимации” гарна тим, що вона являється не тільки довідником  по спеціальним функціям, але й містить обширний табличний матеріал, причому представлені таблиці, без сумніву, близькі до оптимальних. Як правило, це або таблиці коефіцієнтів розкладання функції в ряд Фурьє-Чебишева, або в таблиці коефіцієнтів раціональних аппроксимації Паде.

Математичні таблиці у своєму класичному вигляді розраховані по суті на будь-яку обчислювальну машину. Та при роботі з ЕОМ економічно невигідно друкувати таблиці в пам’яті машини, а потім складати програму для пошуку потрібної таблиці і наступної її інтерполяції. Для ЕОМ необхідні ефективні алгоритми і схеми, які дозволяють виконувати обчислення потрібних функцій. Прийнятий підхід у довіднику Ю.Люка до питань наближення  має глобальний характер.Числові значення функцій являються лише аспектом усієї  проблеми в цілому. Аппроксимація потрібна нам для знаходження значень функцій та їх нулів, для спрощення математичних виразів, таких як інтеграли та інші функціонали, атакож, щоб спростити розв’язання великого різномаїття функціональних рівнянь, таких якдиференціальні рівняння, інтегральні рівняння і так далі. Тому основний акцент у даному довіднику  зроблено на розробку аналітичних виразів і аппроксимацій функцій для універсального використання.

У цьому довіднику дається механізм розкладу гіпергеометричних функцій та деяких інших в нескінченні ряди по многосленам Якобі і Чебишева першого роду. У вигляді таблиць наводяться числові значення коефіцієнтів чебишевських розкладів для широко відомих функцій. Зокрема  аппроксимація Паде для неповних Г(Гамма)-функцій відома у замкнутому вигляді. Основне діагональне і перше субдіагональне наближення приводять до двосторонніх нерівностей для цих функцій. Їх можна використовувати як основні при отриманні подібних нерівностей для цілої низки і інших функцій. У цьому довіднику розглядаються ці та багато інших нерівностей, зокрема ті, що стосуються Ейлерової функції Г(Гамма)(див. таблиці 1.1, 1.2, 1.3, 1.4).

Також наближене  обчислення вище згадуваних функцій Ейлера на ЕОМ  можна проводити з допомогою потужної і універсальної системи комп’ютерної математики-Mathcad. Вона створена для автоматизації розв’язування масових математичних задач в самих різноманітних областях науки, техніки і освіти. Назва системи походить від двох слів-MATHematica(математика) і CAD(Computer Aided Design- системи автоматичного проектування, або САПР).

Mathcad містить широкий набір вбудованих спеціальних математичних функцій. Їх використання розширює можливості системи при розв’язуванні складних математичних задач.

Широко розповсюдженою спеціальною функцією, обчислення якої (причому як при дійсному, так і при комплексному аргументі z) передбачено в системі  Mathcad, являється функція гамма Г. Вона широко застосовується в статистичних розрахунках.

При роботі в системі Mathcad функція задається своїм ім’ям і значенням аргумента, який записується в круглих дужках. В відповідь  на звертання до них функція повертає обчислене значення. Також на екран виводиться графік заданої функції (див. ст.22).

Висновки

Працюючи над курсовою роботою на тему: „Властивості бета і гамма функцій Ейлера” я прийшла до наступних висновків:

1.  Бета і гаимма функції Ейлера відіграють важливу роль у математиці завдяки своїм властивостям, а також зв’язку цих функцій між собою.

2.  Завдяки уведенню бета і гамма функцій Ейлера, розширюються можливості представлення інтегралів у кінцевому вигляді через відомі функції. Інакше, навіть якщо бета і гамма функції не входять у кінцевий результат, одержання його полегшується з використанням властивостей цих функцій.

3.  Розвиток чисельного аналізу та удосконалення ЕОМ приводе до зростання ролі спеціальних функцій, у тому числі бета та гамма функцій Ейлера. Пояснюється це наявністю багатьох причин і перш за все тим, що в прикладній математиці нараховується велика кількість задач, що розв’язуються з допомогою спеціальних функцій, а існування ЕОМ значно полегшує роботу з останніми. Бажанння мати більш ефективні алгоритми для розв’язку задач математичної фізики призводить до появи нових класів алгоритмів, в яких значна роль відводиться роботі із спеціальними функціями. На кінець, все більш популярними стають методи роботи, при яких аналітичні операції виконуються на ЕОМ; природньо, що при цьому роль спеціальних функцій дуже велика. Таким чином, на даний момент математичному забезпеченні будь-якої сучасної ЕОМ повинно входити велике число стандартних програм для роботи з багатьма класами спеціальних функцій у тому числі і функцій Ейлера.

Лiтература

1.  Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, - Государственное издательство технико-теоретическойс литературы. – М.1955, - том II. – с.167-176.

2.  Ю.Люк. Специальные математические функции и их аппроксимакции , - Издательство “Мир”. – М. 1980.- с. 12-14.

3.  Дьяконов В. Д93 Mathcad 2001: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – с. 361-362.