Модели технологических процессов и аппаратов, страница 3

При смесительной (соединительной) операции имеется n входных потоков и один выходной.

 

Рис. 1. Схема смесительной модели.

Общее уравнение операции

где x_i – i –й входной поток;

Ψ  (пси) - дополнительные факторы.

Конкретные модели отличаются видом функций f , которые, в общем случае, могут быть нелинейными.

2.4.2.    Смесительная модель линейного вида.

Перейдем к рассмотрению смесительной модели линейного вида для чего введем переменные u_i, определяющие соотношения, в которых смешиваются исходные потоки. Конкретный набор значений u₁, ¼, u_n можно рассматривать как рецепт приготовления смеси. В этом случае модель будет иметь вид

 

2.5.  Разделительные модели.

Технологические операции разделения смесей осуществляются ректификацией, адсорбцией, сепарацией, флотацией и другими способами.

Рис. 1. Схема разделительной модели.

Общее уравнение разделительной операции может быть записано в виде

где y_j – j –й выходной поток;

x – входной поток смеси;

Ψ(пси) - дополнительные факторы.

В частности, модель разделителя компонентов для случая разделения единичного входного потока x на m выходных потоков y в соответствии с долями разделения может быть представлена уравнением материального баланса в матричной форме:

В приведенном уравнении Y содержит s векторов соответствующих долей компонентов выходных потоков.

В массиве A диагональные элементы a_j,s соответствуют доле s –го компонента во входном потоке, который является j в выходном потоке.

По условию a_j,s = 0, если s –й компонент не присутствует в потоке. Таким образом, для всех s компонент, при которых x_s ¹ 0, åa_j,s = 1 то есть сумма концентраций всех компонентов равна единице.

2.6.  Сложная модель.

2.6.1.    Сложная модель общего вида.

Сложная модель описывает агрегат с n входными и m выходными потоками.

Рис. 3. Схема сложной модели.

В общем виде уравнение модели может быть представлено как

 

где y_j – j –й выходной поток;

X – вектор компонентов входной смеси;

Ψ (пси) - дополнительные факторы.

2.6.2.    Сложная модель линейного вида.

Для такой модели функции f_j можно представить в виде некоторых переменных коэффициентов, зависящих от Ψ (пси)  и тогда уравнение модели примет вид

 Полученная модель линейна относительно параметров материального потока. Управление потоком может производиться, как изменением коэффициентов f_j,i, так и   значений x_i. Значения последних могут определяться запасом компонентов и возможными ограничениями на пропускную способность моделируемого агрегата.

Пример[1]

В качестве примера использования типовых элементарных моделей при моделировании промышленных объектов рассмотрим смесительный бак, который имеет постоянную площадь поперечного сечения S.

Бак наполняется с помощью двух потоков с расходами F₁(t) и F₂(t), причем концентрации контролируемого компонента C₁ и C₂ в потоках постоянны.

Перемешивание содержимого в баке идеально при этом концентрация контролируемого компонента C(t) в баке равна концентрации компонента на выходе из него (идеальное смешение).

Скорость изменения объема материала в баке

а скорость изменения концентрации

где V – объем жидкости в баке.

Мгновенный расход выходного потока F(t) зависит от высоты H:

где K – экспериментально определенная константа.

Учитывая, что площадь поперечного сечения бака  S = Const, можно написать

Подставляя  расходы в уравнения скорости изменения объема и концентрации, получим

или

Таким образом, используя типовые схемы, мы составили математическую аналитическую модель смесительного бака.

Модели аппаратов химической технологии.

Реальные технологические аппараты представляют собой сложные много потоковые системы, в которых осуществляется переработка потоков сырья, полупродуктов, горючего теплоносителей и т.д. Для моделирования эти системы могут быть разбиты на подсистемы, каждая из которых выполняет в системе определенное законченное действие. Рассмотрим математические аналитические модели отдельных подсистем: теплообменников, источников, линий связи, трубопроводов.

2.7.  Модель теплообменника с полным смешением теплоносителей.

Рассмотрим модели теплообмена для аппаратов с полным смешением одного или двух теплоносителей. В частности теплообменник с полным вытеснением одного и полным смешением другого теплоносителя (змеевик, расположенный в баке, представлен на рис. 1).

Рис. 1. Теплообменник.

Основные переменные процесса переноса тепла в теплообменниках связаны уравнениями теплового баланса и имеют вид:

Для двух теплоносителей:

 

Для горячего теплоносителя:

Для холодного теплоносителя:

Здесь и на рисунке приняты следующие обозначения:

C – удельная теплоемкость, кДж/(кг·К); 

F – расход, кг/с;

Q – количество тепла, кДж;

Θ – температура, °К;

S – площадь поверхности теплоотдачи, м²;

a - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К);

g - удельный вес, Н/м³;

l - коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К);

d - толщина стенки, м.

Обозначение индексов:

_ст – стенка разделяющая; 

_ср – средняя температура;

_пот – потери;

₁, ₂ – горячий и холодный соответственно. 

Схема теплопередачи через стенку приведена на рис. 2.

Рис. 2  Схема теплопередачи через стенку.

Уравнение теплопередачи имеет вид

,

где коэффициент теплопередачи   

 

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи носит название термического сопротивления и состоит из:

 - термического сопротивления теплоотдачи от греющей жидкости к поверхности стенки;

 - термического сопротивления теплопроводности стенки;

 - термическое сопротивление от поверхности стенки к нагреваемой жидкости.

Следует отметить, что тепловой баланс не является уравнением связи (по нему, например, нельзя непосредственно определить температуру на выходе теплообменника).

 Для написания математической модели необходимо принять ряд допущений:

1.  Одна из жидкостей движется в теплообменнике внутри трубы, которая омывается другой жидкостью;

2.  Обе жидкости движутся в одном направлении по оси z;

3.  В направлении, перпендикулярном к направлению движения теплоносителей, смешение полное, потому скорости и температуры их в любой плоскости, перпендикулярной к оси z, усредняются;

4.  Смешение теплоносителей и передача тепла в стенке трубы в направлении движения сред не учитываются;

5.  Удельные теплоемкости и плотности жидкостей, в области рассматриваемых температур, принимаются постоянными;