Другие предметы \ Теория автоматического управления

Анализ линейных систем автоматического регулирования, страница 3

Вывод: Данная система в замкнутом состоянии неустойчива, т.к. не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны.

2.3 Критерий Михайлова.

Для устойчивости АСР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Выпишем характеристическое уравнение замкнутой АСР:

0,0042P³+0,072P²+1,012P+447,68=0

лист

Произведем подстановку P=jw:

0,0042(jw)³+0,072(jw)²+1,012jw+447,68=0.

Выделим вещественную и мнимую часть многочлена:

P(w)+jQ(w)=(447,68-0,072w²)+j(1,012w-0,0042w³).

Зададим значения 0<w<¥ и вычислим P(w) и Q(w):

Таблица 3 - Значения для построения АФЧХ

W	0	4	8	12	16	20	24	28	32
P(w)	447,68	446,53	443,07	437,31	429,24	418,25	406,21	391,23	373,95
Q(w)	0	3,779	5,946	4,886	-1,011	-13,36	-33,773	-63,862	-105,24

36	40	44	48	52	56	60	64	70	84	...	∞
354,4	332,4	308	281,8	252,9	221,8	188,5	153	94,8	-60,3		- ∞
-159,5	-228,3	-313	-415,9	-537,9	-680,9	-846,5	-1000	-1370	-2400		- ∞

По данным таблицы 3 построим годограф Михайлова. (рисунок 1)

Вывод: Данная система в замкнутом состоянии неустойчива, т.к. годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости, не обошел в положительном направлении последовательно 3 квадранта, нигде не обращаясь в нуль.

2.4 Критерий Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутого контура.

Запишем характеристическое уравнение разомкнутой АСР:

446,68

Wр(p)= 0,0042P³+0,072P²+1,012P+1

Сделаем замену P=jw и подставим в данное уравнение:

446,68

Wр(jw)= -0,0042jw³-0,072w²+1,012jw+1

Выделим в знаменатели действительную и мнимую часть и домножим на сопряженное:

лист

446,68

Wр(p)= (-0,072w²+1)+j(1,012w-0,0042w³)

446,68·((-0,072w²+1)-j(1,012w-0,0042w³))

Wр(p)= ((-0,072w²+1)+j(1,012w-0,0042w³))·((-0,072w²+1)-

446,68·((-0,072w²+1)-j(1,012w-0,0042w³))

-j(1,012w-0,0042w³)) = (-0,072w²+1)²+ (1,012w-0,0042w³)²

32,161w²+446,68

P(w) = (-0,072w²+1)²+(1,012w-0,0042w³)²

1,876w³-452,04

Q(w) = (-0,072w²+1)²+(1,012w-0,0042w³)²

Таблица 4 - Значения для построения АФЧХ

W	0	4	8	12	16	20	24	28	32
P(w)	446,68	67,195	51,79	45,486	28,468	13,992	6,828	3,587	2,04
Q(w)	-452	-23,2	10,523	25,005	23,733	15,309	9,176	5,697	3,731

38	44	48	52	56	60	64	68	72	76 ∞
0,988	0,53	0,372	0,267	0,197	0,148	0,114	0,089	0,07	0,057 ... 0
2,16	1,36	1,055	0,806	0,64	0,517	0,424	0,352	0,295	0,25 ... 0

По данным таблицы 4 построим годограф Найквиста (рисунок 2)

Вывод: Система, будучи нейтральной в разомкнутом состоянии, неустойчива в замкнутом состоянии, т.к. расширенный годограф Найквиста при 0<w<∞ охватывает точку с координатой (-1,j0).

2.5 Логарифмический критерий:

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

446,68