Анализ и синтез линейных систем автоматического регулирования, страница 2

2.2.4.  Критерий Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутого контура САР.

Записываем передаточную функцию  разомкнутой АСР (рис.2.1):

.

Делаем замену P = (jw) и подставляем в данное уравнение:

,

Выделяем в знаменателе действительную и мнимую часть и домножаем на

сопряженное:

.

Выписываем вещественную и мнимую части:

,

.

По данным (табл.2.4) строим годограф Найквиста (рис.2.6).

Таблица 2.4.   Данные для построения годографа Найквиста

w	0	2	4	6	10	20	30	40	50
P(w)	446,69	71,13	-4,815	-24,402	-37,659	-13,048	-2,604	-0,785	-0,312
Q(w)	0	-198,9	-117,9	-78,928	-35,901	6,243	3,379	1,565	0,824
w	60	70	140	150	160	170	180	190	199
P(w)	-0,148	-0,079	-4,8*10-3	-3,6*10-3	-2,8*10-3	-2,2*10-3	-1,8*10-3	-1,4*10-3	-1,2*10-3
Q(w)	0,483	0,306	0,039	0,031	0,026	0,022	0,018	0,015	0,013

Рис.2.5. Годограф Найквиста

Рис.2.6. Увеличенный участок годографа Найквиста

Вывод: Разомкнутая система является не устойчивой, т.к. АФЧХ (рис.2.5 - 2.6) системы охватывает точку с координатой (-1,j0).

2.2.5.  Логарифмический критерий

Записываем передаточную функцию разомкнутой системы:

.

Определяем значения сопрягающих частот:

,    ,    .                                           (2.4)

,   ,    .

Амплитудочастотная характеристика разомкнутой системы:

К=К₁К₂К₃К₄=446,688;

L=20*lgК=53.

Фазочастотная  характеристика разомкнутой системы:

o  суммарная

.                            (2.5)

o  для каждого звена

            (2.6)

Таблица 2.2.5. Данные для построения ЛФЧХ разомкнутой системы

w	j1	j2	j3	j4	j5	jоб
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	-43,23	-4,12	-4,37	-51,7
5	0	0	-77,989	-19,78	-20,92	-118,699
10	0	0	-83,93	-35,75	-37,4	-157,08
50	0	0	-88,78	-74,48	-75,34	-238,6
100	0	0	-89,39	-82,09	-82,55	-254,03
500	0	0	-89,88	-88,41	-88,5	-266,79
1000	0	0	-89,94	-89,2	-76,464	-255,604

Вывод: Система является не устойчивой, т.к. ЛФЧХ пересекает линию –180⁰ один раз.

3 Частотный метод синтеза корректирующих устройств

3.1 Расчет последовательного корректирующего  устройства

3.1.1 Построение желаемых логарифмических характеристик

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ Lж(w) разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (рисунок 3.1.1) состоит из трёх основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.

Построение желаемой ЛАЧХ производится на основании требований к системе. Низкочастотная часть этой характеристики обуславливает точность воспроизведения медленно изменяющихся воздействий. По её виду можно найти добротности по скорости и ускорению и статическую ошибку системы. Низкочастотный участок (рисусок 3.1.1) для астатических систем (неизменяемая часть системы L₀(w) ) должен иметь наклон  –20n дб/дек (где n – число интегрирующих звеньев в системе, в нашем случае n = 1) и при w = 1 ординату, равную 20lgK (для нашего случая 20lgK=28,79, где К = 446,688).

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и её сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики.

Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ начинаем с выбора частоты среза w_СР по номограмме составленной В.В.Солодовником ([1], страница 272), которая определяет зависимость перерегулирования s и времени регулирования t_Р от максимума Р_MAX  вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причём время регулирования t_Р дано в виде функции частоты среза w_СР.

По заданному значению перерегулирования s = 25%  определяем значение Р_MAX  = 1,19. Затем по Р_MAX  определяем соотношение между t_Р и w_СР:

.                                                        (3.1.1)

Из (2.1.1) вычисляем частоту среза w_СР, при которой время регулирования не превысит заданного значения (t_Р = 1,4):

 с^-1.

Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится через точку w_СР с наклоном

-20дб/дек. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование.

Протяжённость среднечастотной асимптоты устанавливаем исходя из необходимого запаса устойчивости (Lм £Lж(w) £.-Lм). Из этих же соображений выбираем её сопряжение с низкочастотной асимптотой так, чтобы характеристика Lж(w) возможно меньше отличалась от L₀(w) и корректирующее устройство было возможно более простым.

По ранее найденному значению Р_MAX  = 1,19 с помощью кривых ([1], страница 273), определяем избыток фазы g = 48⁰ и предельные значения Lм = 16,5 дб логарифмических амплитуд. Избыток фазы должен быть обеспечен на том участке характеристики Lж(w), для которого справедливо

Lм £Lж(w) £.-Lм.                                                     (3.1.2)