Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций с Т=2П. Разложение в ряд Фурье функции с периодом Т=2L

Пример f(x)=x, x  [-П, П], Т=2П

1) Построим график функции

2) Проверим условия Дирихле по графику:

а) f(x) монотонна на [-П, П]=Т

б) f(x) непрерывна на [-П, П]=Т

Условия Дирихле выполняется, значит функция разложена в ряд Фурье.

3) функция общего вида, поэтому ряд Фурье имеет вид:

4) Находим коэффициенты ряда   

cos 0=1

cos Пn=(-1)ⁿ

5) Записываем ряд Фурье

В точке x=-П и x=П сумма ряда Фурье по теореме Фирихле не совпадает со значением функции f(x)=x, а равна

Разложение в ряд фурье четных и нечетных функций с Т=2П

Отметим некоторые свойства четных и нечетных функций:

1) если f(x) и (x)-четные, то -четная функция

2) если f(x)-четная, (x)-нечетная, то-нечетная функция

3) если f(x) и (x)-нечетные, то-четная функция

4) -четная

5) -нечетная

I Пусть f(x)-четная, периодическая функция с периодом Т=2П

-четная

-четная

-нечетная

Тогда ряд Фурье имеет вид:

II f(x)-нечетная функция

-нечетная

-нечетная

-четная

ряд Фурье имеет вид:

Пример: f(x)=x². периодическая с Т=2П

1)Построим график функции

2) Проверим условие Фирихле по графику:

а) функция кусочно-монотонная на [-П, П],

б) функция непрерывна на  [-П, П]

Значит функция разложима в ряд Фурье.

3)Функция четная 

4) Найдем коэффициенты ряда:

5) Запишем ряд Фурье.

та как функция кусочно-монотонная, непрерывная, то это равенство выполняется во всех точках.

Разложение в ряд Фурье функции с периодом Т=2L

Пусть функция f(x) периодическая с Т=2L, которая на  [-L, L] удовлетворяет условием Дарихле, то мы полагаем  и получим функцию  периода 2П

 

,

которая на [-П, П] удовлетворяет условиям Дирихле. Поэтому в [-П, П]

, где

Вернемся к прежней переменной x, получим, что в [-L, L]

, где