Оптимальная производственная программа

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Содержание работы

Задача 12. Оптимальная производственная программа

12.1. Постановка задачи

Фирма выпускает два вида изделий А и В, которые обрабатываются на станках двух типов. Известны нормативы aij времени, требуемого для обработки одного изделия j-го вида на станке i-го типа (ст./час.), общие фонды рабочего времени каждого типа станков bi (ст./час.). Фирма имеет контракт, согласно которому должна ежедневно поставлять заказчику d1 изделий А и d2 изделий В.

Удельная прибыль рj = cjl·хj, где хj — количество проданных изделий j-го вида, а cj, l — фиксированные величины.

Требуется определить: сколько изделий каждого вида нужно изготовить фирме, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

→ Задание 1: Составить математическую модель нахождения оптимального плана выпуска продукции.

→ Задание 2: Определить оптимальный план выпуска обобщенным методом множителей Лагранжа.

→ Задание 3: Дать геометрическую интерпретацию хода решения задачи.

→ Задание 4: Дать экономическую интерпретацию полученных результатов

12.2. Исходные данные

а11

a12

a21

a22

b1

b2

d1

d2

c1

c2

l

2

2

6

2

160

220

10

20

320

280

2

12.3. Построение математической модели (выполнение задания 1)

Z = (320 – 2х1) х+ (280 – 2х2) х2 = 320 х1 – 2 + 280 х2 – 2.

где х1 — план выпуска изделий А; х2 — план выпуска изделий В.

Исходная задача:

Z = 320х1 – 2 + 280 х2 – 2 → max,                                                                       (1)

                                                            2х1 + 2х2 ≤ 160,                 (2)

                                                            6х1 + 2х2 ≤ 220,                 (3)

                                                            х1 ≥ 10,  х2 ≥ 20.                (4)

12.4. Нахождение оптимального плана обобщенным методом множителей Лагранжа (выполнение задания 2)

·  Проверка условий выпуклого программирования

 и  ,

;

.

.

 = (-4)·(-4) – 0·0 = 16.

→ Значения обоих миноров не зависят от точки х = (x1x2),

→ Минор первого (нечетного) порядка отрицателен,

→ Минор второго (четного) порядка положителен.

→ЦФ — строго вогнутая функция (теорема 1)

→ задача (1) – (3) - задача выпуклого программирования

→  имеется единственное оптимальное решение.

·  Многошаговая процедура поиска оптимального решения обобщенным методом множителей Лагранжа

Шаг 1.  → Задача 1: Z = 320х1 – 2 + 280 х2 – 2 → max.      

  →   = (80, 70)   → точка  глобального максимума ЦФ.  

2×80 + 2×70 = 160 + 140 = 300 > 160

 → = (80, 70)  не  является оптимальным решением исходной задачи (1) – (4).

Шаг 2.  → Задача 2:  Z = 320х1 – 2 + 280х2 – 2 → max,                            (5)

                                                           2х1 + 2х2  = 160.                (6)

L(x1, x2, λ) = 320х1 – 2 + 280х2 – 2 + λ (160 2х1 – 2х2)

         .

 160 – 2×(80 – 0.5λ) – 2×(70 – 0.5λ) = 0    2λ – 140 = 0     λ = 70.

= (45, 35) , =70.

         6×45 + 2×35 = 270 + 70 = 340 > 220 

= (45, 35) не  является оптимальным решением исходной задачи (1) – (4).

Шаг 3.  → Задача 3:  Z = 320х1 – 2 + 280 х2 – 2 → max,                      (7)

                                                            6х1 + 2х2 = 220.                (8)

L(x1, x2, λ) = 320х1 – 2 + 280 х2 – 2 + λ (220 6х1 – 2х2)

.

 220 – 6 (80 – 1.5λ) – 2×(70 – 0.5λ) = 10λ – 400 = 0     λ = 40.

= (20, 50) , =40.

2×20 + 2×50 = 40 + 100 = 140 < 160,

= = (20, 50)   Z* = 320×20 – 2×202 + 280×50 – 2×502 = 14 600.

12.5. Геометрическая интерпретация хода решения задачи (выполнение  Задания 3)

Область допустимых решений задачи фирмы - выпуклый четырехугольник АВCD. Линии уровня ЦФ - концентрические окружности, имеющие общий центр в точке О (80, 70).  

Оптимальное решение задачи  1 — точка О (= (80, 70)) , задачи 2  — точка Е (= (45, 35)) , задачи 3 и исходной задачи - точка F (= = (20, 50)).

12.6. Экономическая интерпретация полученных результатов (выполнение задания 4)

Z* =  14 600 при = (20, 50), ,  , = 40.

Похожие материалы

Информация о работе