Математика \ Высшая математика

Интегрирование рациональных дробей, страница 2

2. Записать разложение данной дроби на сумму простейших дробей с неопределенными (буквенными) коэффициентами, используя выражения вида (2.1.6) и (2.1.5).

3. Полученное равенство умножить на общий знаменатель.

4. Для нахождения неопределённых коэффициентов можно воспользоваться одним из следующих способов.

Первый способ. Раскрыть скобки, привести подобные члены и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x.

Второй способ. Не раскрывая скобок, дать аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов.

5. Решить полученную систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Пример 2.1.4. Разложить правильную дробь на сумму простейших дробей:

Решение. Поскольку знаменатель уже разложен на множители, то, в соответствие с этим разложением, записываем данную дробь в виде суммы простейших дробей:

Приравниваем числители

1-й способ. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

2-й способ. Будем придавать значениям x различные значения; лучше всего брать такие значения x, при которых некоторые слагаемые обращаются в ноль:

На практике обычно комбинируют оба способа, чтобы уравнения получались как можно проще. Например,

Итак, исходная правильная дробь следующим образом разлагается на сумму простейших дробей:

Пример 2.1.6. Найти разложение дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей:

Решение. В соответствие с теоремой о разложении правильной дроби на сумму простейших дробей, получим:

Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители:

Отсюда получаем

Таким образом, искомое разложение будет иметь вид

2.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Подведём теперь итоги. Можно предложить следующую общую схему интегрирования рациональных функций.

1. Если рациональная дробь неправильная, то нужно выделить целую и дробную части при помощи правила деления многочленов.

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители.

3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей при помощи метода неопределенных коэффициентов.

4. Вычислить интегралы целой части и полученных простейших дробей.

Данная схема показывает, что любая рациональная функция принципиально интегрируется в элементарных функциях. Однако это не означает, что этот путь является наилучшим, наиболее экономным. Как правило, существует несколько приёмов вычисления конкретных интегралов и всякий раз те или иные обстоятельства должны подсказать тот искусственный прием, который быстрее всего приводит к цели. Наша цель – показать, что рациональные функции всегда «берутся», т.е. для неё всегда можно найти первообразную и эту первообразную можно записать при помощи элементарных функций. Приведённая схема показывает, как в принципе это всегда можно сделать. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1.7. Вычислить интегралы:

а) , б) , в) .

Решение. а) Подынтегральная дробь правильная, поэтому разложим знаменатель на множители:

После этого разложим подынтегральную рациональную дробь на сумму простейших дробей при помощи метода неопределённых коэффициентов.

Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители:

Отсюда получаем

Таким образом, искомое разложение будет иметь вид

Теперь вычисляем интеграл:

б) Подынтегральная дробь правильная и знаменатель уже разложен на множители. Поэтому сразу приступаем к разложению подынтегральной дроби на сумму простейших дробей: