Механические колебания. Свободные незатухающие колебания. Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки. Сложение гармонических колебаний, страница 2

Его решениями являются выражения (1.1).

П р и м е р  3. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний имеет вид . Найти частоту и период этих колебаний.

Р е ш е н и е.Запишем уравнение в виде: .

Отсюда следует, что  а  Период колебаний определяется по формуле:   Следовательно, Т = 2∙3,14/2 = 3,14 с.   

  Физическим  маятником  называют твёрдое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси (рис. 1.5), проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс  С  тела. 

Момент силы тяжести  mg  относительно оси вращения О

                     ,

где - длина  физического  маятника (pасстояние от точки подвеса до центpа масс маятника   = OC).

По основному закону динамики вpащательного движения  Ie = M,     Здесь  I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, e - угловое ускорение.

Для малых отклонений  sin j = j, тогда

                                                                            (1.10)

Из сравнения уравнений (1.9) и (1.10) следует, что   и пеpиод колебаний

                                                       (1.11)

Математический маятник представляет собой материальную точку массой m, подвешенную на абсолютно упругой нерастяжимой нити и совершающую колебания под действием силы тяжести (рис. 1.6).

В формулу (1.11) подставим момент инерции материальной точки  относительно оси, проходящей через точку подвеса, , получим                                                   

Подпись: Рис. 1.6 .                               (1.12)

Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что физический маятник имеет такой же период колебаний, как и математический с длиной

          .

Эту величину называют  приведённой  длиной  физического маятника. Отметим, что I - момент инеpции относительно  оси, пpоходящей  чеpез точку  подвеса O. По теоpеме Штейнеpа

                                            

где IC - момент инеpции  относительно  оси, пpоходящей  чеpез  центp  масс  маятника. Пpедставим пpиведенную длину маятника в виде

                                      

откуда видно, что пpиведенная длина физического маятника больше его длины

Если от точки подвеса О отложить  (см. рис. 1.5), то найдём точку О1, которая называется  центром  качания. Точка подвеса и центр качания являются сопряженными. Это значит, что маятник, подвешенный за центр качания О1, не изменит периода колебаний, а точка O сделается новым центром качания.

П р и м е р  4. Однородный стержень длиной b совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из его концов (рис.1.7). Определить период колебаний.

Р е ш е н и е.Воспользуемся формулой для определения периода колебаний физического маятника (1.11), где = ОС – расстояние от оси вращения до центра масс. Это расстояние ℓ=b/2 (рис. 1.7). Момент инерции стержня относительно его конца  I =1/3mb2. Следовательно,

Сила, возвpащающая маятник в положение pавновесия (рис. 1.6),  т. е. пpопоpциональна смещению  x, но эта сила не упpугая по своей пpиpоде, поэтому она называется  квазиупругой.

Таким образом, механические гармонические колебания возникают в системах под действием сил, пропорциональных смещению.

1.4. Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний, направленных                      по одной прямой

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты (ω01= ω02 = ω0), описываемых выражениями

   x1 = A1 сos (ω0 t+a1

   x2 = A2 сos (ω0 t +a2)                    (1.13)

Тогда уравнение результирующего колебания запишется в виде:

x = x1 + x2  = A1 cos(ω0 t +a1) + A2 cos (ω0 t +a2) =  A cos(ω0 t +a).

Амплитуду A и начальную фазу a результирующего колебания определяют с помощью векторной диаграммы (рис. 1.8), где исходные колебания изображаются векторами, равными по модулю амплитудам А1 и А2, направленными под углами a1 и a2  к оси абсцисс. Если вращать эти векторы  с угловой скоростью ω0,, то их проекции на ось абсцисс будут подчиняться уравнениям (1.13).

Тогда модуль вектора А результирующего колебания равен        (рис. 1.8):

                      (1.14)

а начальная фаза его определится по формуле

                                                      (1.15)  

П р и м е р  5. Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой ω0 и амплитудами А1 = 3 см, А2 = 5 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой А = 7 см. Определить разность фаз складываемых колебаний.

Р е ш е н и е.Воспользуемся выражением (1.14), откуда

                     

           Проведем вычисления:

П р и м е р  6. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, заданных уравнениями  и  где х выражено в сантиметрах. Определить уравнение движения точки и ее максимальную скорость.

Р е ш е н и е.Определим уравнение результирующего движения по формуле

 

Амплитуду результирующего колебания выразим по формуле (1.14):

Начальная фаза результирующего колебания

 

Тогда 

             

α = - 0,93 рад.

Запишем уравнение движения точки:

Найдем скорость: