Магнитное поле: Краткая теория и образцы решений некоторых задач

Страницы работы

28 страниц (Word-файл)

Содержание работы

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

 М А Г Н И Т Н О Е     П О Л Е

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЕЙ

    Экспериментальные факты свидетельствуют, что при движении электрических зарядов наряду с электрическим полем возникает новый вид силового поля – магнитное поле. Магнитное поле в вакууме в любой момент времени характеризуется вектором магнитной индукции В(r,t), который является аналогом вектора напряженности электрического поля. В качестве пробного объекта в случае магнитного поля используется рамка с током. Магнитная индукция как силовая характеристика поля может быть определена отношением максимального вращающего момента, действующего на рамку с током, к величине ее магнитного момента

                                                                                                   (3.1.1)

    Магнитный момент рамки (витка) с током

                                                   Рm = I S n,                                             (3.1.2)

где I – сила тока, текущего по рамке; S  - ее площадь; n – единичный орт по нормали к плоскости рамки. Таким образом, магнитный момент – это векторная величина, направленная по нормали к рамке. Положительное направление нормали и направление тока в рамке составляют правовинтовую систему.

    Закон, определяющий вектор магнитной индукции точечного заряда, движущегося со скоростью v = const, (v<< с, где с = 3 · 108 м/ с – скорость света в вакууме), выглядит следующим образом:

                                                                                         (3.1.3)

где     μо =  4π ·10-7  Гн / м (генри /метр) – магнитная постоянная; r – радиус – вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения (рис.1).

    Направление магнитной индукции удобно находить, пользуясь мнемоническим правилом правого винта: если поступательное движение совпадает с направлением движения положительного заряда или тока в проводнике, то направление вращения указывает ход силовых линий магнитного поля (они всегда замкнуты). Для нахождения вектора магнитной индукции надо провести касательную к силовой линии в нужной точке (рис. 1, силовая линия изображена пунктиром).

 


                         Рис.1                                                     Рис.2

    В международной системе единиц  СИ единицей магнитной индукции является тесла (Тл). Наряду с вектором В используется  вектор напряженности магнитного поля Н.   Вектора В  и  Н связаны выражением

                                                       В = μ0 μ Н,                                                (3.1.4)         

где  μ  - относительная магнитная проницаемость среды. Единица измерения напряженности магнитного поля в СИ – ампер на метр (А/м).

    Величину магнитной индукции поля, созданного элементом проводника   (рис. 2), определяют по закону Био – Савара – Лапласа:

                                                      

или в скалярной форме:

                                             ,                                                 (3.1.5)

где r – радиус – вектор, проведенный от элемента тока  Idl  к точке, в которой определяют магнитную индукцию;  α - угол между элементом dl  и радиусом – вектором r.

    Принцип суперпозиции говорит о том, что магнитная индукция результирующего поля, созданного несколькими объектами (токами или движущимися зарядами), равна векторной сумме магнитных индукцией полей, создаваемых каждым объектом в отдельности:

                                      или                       (3.1.6)

    Из формул (1.1.6) и (1.1.5) можно вывести формулы для расчета магнитной индукции в некоторых частных случаях: для поля прямого и кругового токов.

    Магнитная индукция поля отрезка прямого проводника с током (рис. 3) в точке А

                                                                                  ( 3.1.7)

где α1 – угол между элементом тока Idl  и радиусом – вектором r, проведенным в точку А из  начала  проводника (откуда  ток вытекает );  - то же, но радиус – вектора проводится в точку А из конца проводника ( куда течет ток).

    Пример. Найти магнитную индукцию поля, созданного бесконечно длинным проводником, согнутым под прямым углом, в точке А, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии  а = 6 см от вершины угла (рис.4). По проводнику течет ток 1 А.


Рис.3                                                  Рис.4

    Решение. Проводник  можно  представить в виде  двух полубесконечных проводников. Для вертикального проводника угол α1 = 0 (стремится к этому значению при условии, что верхний конец провода уходит в бесконечность); α2 = 1350 (в вершине угла С элемент тока Idl  направлен  вниз, а радиус – вектор – к точке А). Для горизонтального проводника α1- 45о, α2  стремится к 180о, так как элемент тока Idl в конце проводника направлен вправо, а радиус – вектор – к точке А.

    Воспользуемся принципом суперпозиции (3.1.6). С учетом того, что магнитная индукция от той и другой части провода направлена к нам (силовые линии показаны пунктиром), из формулы (3.1.7) запишем выражение для индукции результирующего поля

               В =[ ( cos 0o – cos 135o) + ( cos 45o – cos 180o )] =    = (1 + √ 2/2   + √ 2/ 2 + 1) =  =  Тл = 8,1 мкТл,

где b = а √ 2 – кратчайшее расстояние от точки А до поводника.

    Ответ: В = 8,1 мкТл.

    Для бесконечно длинного проводника расстояния от обоих концов проводника до точки А значительно больше, чем кратчайшее расстояние от проводника до нее ( α1 = 0о ; α2 = 180о), и формула (3.1.7) принимает вид:

                                                В = .                                                    (3.1.8)

    Магнитная индукция поля кругового витка с током в точке А, лежащей на оси витка, перпендикулярной его плоскости (рис. 5),

                                                   В =,                                           (3.1.9)

где R –радиус витка, x- расстояние от плоскости витка до точки.

Если взять точку в центре кругового тока, то x = 0, и формула принимает вид:

                                                      ,                                               (3.1.10)

    Пример. Определить магнитную индукцию в точке А поля, созданного круговым витком с током I =2 А и прямым бесконечно длинным проводником с током I = 1 А (рис. 6). Радиус витка  R = 5 см, расстояние b = 10 см. проводник расположен перпендикулярно к плоскости рисунка, ток течет от нас (общепринятое обозначение       «от нас»   Ä,     Á   к нам).

 


                             Рис.5.                                                    Рис.6.

    Решение. В точке А поле создается двумя проводниками. Сначала определим значения магнитной индукции для отдельных проводников по формулам (3.1.10) и (3.1.8). Учитывая направления векторов, определяемые по правилу правого винта, и принцип суперпозиции, можно записать для магнитной индукции результирующего поля:

                                                     В =   .

Тогда

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
298 Kb
Скачали:
0