Каналы связи и их модели, страница 6

К моделям логично предъявить ряд требований:

1.  Модель должна по крайней мере в первом приближении давать оценки, совпадающие с экспериментальными данными.

2.  Модель используется при проектировании СПД (кодов, оценки времени передачи, и т.д.), поэтому должна быть достаточно простой, экономически обоснованной простой.

3.  Должны быть известны конструктивные процедуры оценки параметров модели по экспериментальным данным.

4.  Модель должна быть универсальной.

5.  Желательно, чтобы в модели отражалась взаимосвязь с физической сущностью.

4.6.1  Модель двоичного симметричного канала

В простейшем случае дискретный канал связи может быть представлен как симметричный канал без памяти (ДСК), т.е. такой стационарный дискретный канал, в котором вероятности искажения любого из символов 0 или 1 одинаковы. В этом канале вероятность передачи не зависит от статистики передаваемой последовательности. Воздействие помехи можно представить как позиционное суммирование входной последовательности символов, выдаваемых условным источником помехи, статистическая характеристика которой полностью определяет канал. В ДСК ошибки кратности подчиняются биномиальному закону распределения, поток ошибок задается через вероятность ошибки бита р. Вероятность -кратной ошибки на блоке из символов равна:

                       

Поток ошибок в ДСК без памяти является процессом восстановления с геометрическим распределением интервалов между ошибками .

Параметр  легко находится по экспериментальным данным

, здесь  - число ошибочных символов за сеанс связи,  - число символов переданных за этот сеанс.

К сожалению число реальных каналов, ошибки которых описываются моделью ДСК весьма мало. Это обычно каналы высокого качества локальных сетей. Основное достоинство данной модели – простота и возможность оценки по ней потенциальных границ вероятностных характеристик качества доставки сообщений в системе.

4.6.2  Модель

В основу построения модели положено понятие плотности ошибок порядка . Это неслучайная функция аргументов  и  .

.

В числителе сумма есть среднее число ошибок на блоке длинной , содержащих или больше ошибок. Значения плотности порядка  ограничены снизу величиной , а сверху единицей, т.е. . Значения  не убывают с ростом ; и . По величине плотности можно судить о степени группирования ошибок, если считать, что увеличение доли ошибок высших кратностей идентично увеличению степени группирования. Экспериментально установлено, что для многих каналов

, если выполняются условия  ,   больше  хотя бы в несколько раз. Параметр  носит название показатель группирования . Если , пакетирования нет, имеем канал с независимыми ошибками;  соответствует каналу с «жестким» пакетированием ошибок.

Достаточно просто доказывается, что

.

Вероятность приема блока ровно с  ошибками равна .

Если использовать приближение , то , и

.

На практике обычно применяют еще более простое соотношение

.

Это верхняя граница вероятности . При  точные значения  близки к верхней границе.

Таким образом, модель  задается  соотношением .

Параметр модели  - вероятность ошибки символа, находится как и для канала ДСК.

Параметр  находят из уравнения . Получаем .

Достоинством модели является учет факта пакетирования ошибок, что имеет место в большинстве реальных каналов, возможность единообразно описания разных типов каналов. Так в кабельных каналах значения  максимально . В КВ радиоканалах минимально . Недостаток модели – ее неполнота, остается открытым вопрос о модели на уровне блоков.

4.6.3  Модель на основе  ОПП

Наблюдаемое пакетирование ошибок в каналах связи при предположении о пуассоновском характере потока можно объяснить, если считать параметр  не константой, а случайной величиной или процессом. Получающийся путем рандомизации  новый случайный процесс называют обобщенным пуассоновским . Будем считать  случайной величиной, закон распределения которой известен . Тогда канал задается как поток ошибок первым способом:

,

т.е. формула для  сохраняется, но осуществляется усреднение по параметру.

Поскольку вид и параметры закона распределения для реальных каналов обычно неизвестны, указанной выше формулой воспользоваться не удается.

По экспериментальным данным относительно легко можно найти закон распределения интервалов между ошибками – функцию Пальма-Хинчина , которая полностью определяет ОПП (второй способ здания потока).

Используя производящую функцию вероятностей, в [*] доказана формула:

- параметр потока,

 и

 

 - вероятность отсутствия ошибок за время .                 [*]

Таким образом, для ОПП, зная функцию распределения интервалов между ошибками или  вычисляются вероятности , т.е. приходим к заданию потока первым способом но конструктивным.

Рассмотрим один частный случай, когда распределение интервалов задается обобщенной гиперболой

,  .

Исследование записей потоков ошибок в телефонных каналах показало, что такая ситуация наблюдается довольно часто.

Для параметра потока тогда получается

.

   и

.

Наиболее удобна для расчета вероятностей  рекуррентная формула:

 

.

Неизвестные параметры  и  легко находятся, например, методом моментов, поскольку обобщенная гипербола для интервалов между ошибками приводит к гамма-распределению параметра .

.

Это следует из выражения для

 - это преобразование Лапласа-Стильтьеса функции . Зная , получаем  приведенное выше. Вычисляем по экспериментальны данным среднее число ошибок  на блоке в  бит и второй центральный момент .

Приравниваем их теоретическим моментам гамма-распределения и из системы уравнений получаем

,

.

На основании полученных значений  по модели мы можем найти  для любых интервалов , т.е. кодовых комбинаций другой значности. Для тропосферного ТЛФ канала при использовании ЧМ сигналов на скорости 1200  получено, например, , .

Особенно ценно следующее свойство предложенной модели потока ошибок. Многомерное распределение однозначно определяется с помощью одномерного: .

Здесь многомерное распределение необходимо для того, чтобы выбирать способ защиты информации от ошибок при передаче по каналам. В частности, чтобы находить вероятности приема сообщения с нескольких повторов.

Недостатки модели – более трудоемкие формулы для расчета, чем у моделей ДСК и  и тот факт, что не все каналы имеют обобщенную гиперболу в качестве закона распределения между ошибочных интервалов.