Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Многоканальная СМО с отказами

Изучим работу n-канальной СМО с отказами (n≥1), на вход которой поступает простейший поток заявок П_вх с интен­сивностью l, а время T_Oб обслуживания каждым каналом одной заявки распределено по показательному закону:   f (t)=me^-mt

 Тогда "поток обслуживаний" П_об каждым каналом будет простейшим с интенсивностью m= 1/ Т_Об, где Т_Об — среднее время обслу­живания одной заявки одним каналом.

Задача исследования таких СМО впервые возникла в облас­ти телефонии и была решена в 1909 г. А.К. Эрлангом.

Состояния системы занумеруем по числу занятых каналов. Для СМО с отказами это означает, что мы нумеруем состояния по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под обслуживани­ем, поскольку каждый канал в любой момент времени либо свободен, либо обслуживает только одну заявку. Таким обра­зом, СМО может находиться только в одном из следующих n + 1 состояний:

S₀ — все я каналов свободны,

S₁— занят только один канал, остальные n-1 каналов сво­бодны,

. . .

S_k — заняты k каналов, остальные n-k каналов свободны,

. . .

S_n — заняты все n каналов.

Граф состояний СМО представлен на рис. 4.1.

 

Если СМО находится в состоянии s_k (k =0,1,...,n-1), т.е. когда k каналов заняты обслуживанием заявок, а остальные n-k каналов свободны, то перескок ее в состояние S_k+1 происходит при поступлении на вход новой заявки. Таким образом, по стрелкам слева направо из любого состояния в соседнее со­стояние справа систему переводит один и тот же входящий поток заявок П_вх с интенсивностью l. Следовательно, плот­ность вероятности перехода l_k,k+1 (0,1,…,n-1) из любого k-то состояния в (k+1)-е состояние равна l:

l₀₁=l₁₂=…=l_n-1=l ,                                                                 (4.1)

что и проставлено над стрелками слева направо.

Так как по предположению входящий поток П_вх простей­ший, то он является ординарным, т.е. заявки поступают по одной. Поэтому СМО, меняя свои состояния слева направо, не может перескочить через состояние, а переходит только в со­седнее справа состояние. По этой причине на графе (см. рис.4.1) отсутствуют стрелки, перескакивающие через со­стояния слева направо.

Вероятность того, что одновременно, точно в один и тот же момент, освободятся более одного канала, пренебрежимо мала, т.е. такие события практически невозможны. Поэтому на графе нет стрелок, "перескакивающих" через состояния справа налево.

Исходные параметры СМО и характеристики эффективности ее функционирования представлены в табл. 4.1. и 4.2.

Таблица 4.1

Параметры п-канальной СМО с отказами

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1	Число каналов	N≥ 1
2	Интенсивность простейшего входящего потока заявок Пвх	In Пвх =l = const (l не зависит от времени t)
3	Производительность каждого канала — интенсивность простейшего "потока об­служивания" Поб. (среднее число заявок, обслуживаемое одним каналом за единицу времени при непрерывной его работе без простоя)	in Поб=m= const (m не зависит от времени t)
4	Непрерывная случайная величина Тоб -время обслуживания одной заявки одним каналом, распределена по показательному закону с параметром m	f (t)=me-mt (t≥0)

Таблица 4.2

Предельные характеристики эффективности

функционирования n-канальной СМО с отказами

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Вероятности состояний СМО pk , k =0, 1, ...,n, выражен­ные через интенсивность входящего потока l и ин­тенсивность потока обслу­живании m	Pk=akp0   k=0,1,…,n
2	Приведенная интенсивность входящего потока — трафик (показатель нагрузки СМО)	P=l/m=lTоб= Tоб/T, где Тоб - среднее время обслужи­вания одной заявки одним кана­лом; Т - средний интервал вре­мени между двумя соседними заявками во входящем потоке
3	Вероятности состояний СМО pk ,  k = 0,1,..., n, выраженные через трафик р	k=1,…,n
4	Вероятности состояний СМО pk ,  k = 0,1,..., n, выраженные через средние времена Т и Тоб	k=1,…,n
5	Вероятность отказа ротк	pотк=pn=(pn/n!)p0
6	Вероятность того, что при­шедшая заявка будет обслу­жена	Pоб=1-pотк=1-pn
7	Относительная пропускная способность	Q= Pоб=1-pn
8	Абсолютная пропускная способность	A=lQ=l(1- pn)
9	Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок	n=A=l(1- pn)
10	Среднее число занятых каналов	=A/m=p(1- pn)   K=Nоб=Nсис=
11	Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла)	Tсис=(1/m)*(1-pn)=(1/l)*K=(1/l)*Nсис