Многоканальные системы массового обслуживания с ожиданием, страница 4

Размеченный граф состояний данной СМО приведен на рис. 16.1.

Рис 16.1.

Сравнивая этот граф с графом на рис. 5.1, видим, что данная СМО работает как одноканальная с ожиданием, макси­мальная длина очереди которой равна п+m-1, а производительность канала nμ. Поэтому для получения характеристик рассматриваемой в этом разделе системы мы можем воспользо­ваться формулами раздела 5 с заменой в них n  nμ , а также т на п+m-1.

Таблица 16.1

Параметры многоканальной СМО с очередью и равномерной взаимопомощью между каналами

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1	Число каналов обслуживания	п>2
2	Интенсивность входящего про­стейшего потока заявок Пвх	in Пвх = λ = const (λне зависит от времени t)
3	Интенсивность простейшего "по­тока обслуживаний" каждым   кана­лом	μ = const  (μ не зависит от времени t)
4	Интенсивность простейшего "по­тока обслуживании" одновременно п каналами	n μ
5	Ограничения на длину очереди	Максимальная длина очереди – m>= 1 заявок
6	Дисциплина взаимопомощи между каналами	"Равномерная"

Таблица 16.2

Характеристики эффективности функционирования  многоканальной СМО с очередью и равномерной взаимопомощью между каналами

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки системы	ρ = λ/μ
2	Показатель   нагрузки системы,      приходя­щейся на один канал	ψ = ρ/n = λ/μn
3	Вероятности  состоя­ний	p0, + = = =  , если Ψ ≠ 1;      1 / (n + m + 1)        , если Ψ = 1 pk, + = Ψk p0, + ; k = 1, … , n+m
4	Вероятность отказа
5	Вероятность   приема в систему, или что то же, вероятность того, что     заявка     будет обслужена
6	Относительная   про­пускная способность
7	Абсолютная     пропу­скная способность
8	Среднее число зая­вок в очереди
9	Среднее число зая­вок под обслужива­нием
10	Среднее число заня­тых каналов
11	Среднее число заявок в системе
12	Среднее время пребывания заявки в системе	Tсис, + = (1/λ) Nсис, + = =        , если Ψ ≠ 1;                                                              , если Ψ = 1
13	Среднее время ожи­дания заявки в оче­реди	Tоч, + = (1/λ) Nоч, + = =        , если Ψ ≠ 1;                             , если Ψ = 1
14	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает вероятность отказа	ротк,+ < ротк
15	Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает относительную пропу­скную способность СМО	Q + >  Q
16	Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает абсолютную пропу­скную способность СМО	A + > A
17	Равномерная взаимопомощь между каналами увеличивает среднее число занятых каналов	K + > K
18	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее число заявок в системе	N сис,+ < N сис
19	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднюю длину очереди	N оч,+ < N оч
20	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее число заявок, находящихся под обслуживанием	N об,+ < N об
21	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее время ожидания заявки в очереди	T оч,+ < T оч
22	Равномерная взаимопомощь между каналами уменьшает среднее время пребывания заявки в системе	T сис,+ < T сис

17. Многоканальная СМО с ожиданием и «равномерной» взаимопомощью между каналами

В этом разделе исследуем характеристики и-канальной (и > 2) СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди и с "равномерной" взаимопомощью между каналами. Пусть X -интенсивность входящего простейшего потока заявок, ср(&) = &ц •*-функция интенсивности обслуживания и « < &к_р; следователь­но, ф(я) = «ц. Заявка, поступившая в СМО, когда под обслужи­ванием находится менее п заявок, немедленно принимается к обслуживанию с соответствующим перераспределением по за­явкам обслуживающих каналов. Если же заявка пришла в сис­тему в момент, когда обслуживаются п заявок, то она становит­ся в очередь и ждет своего приема на обслуживание. Таким образом, каждая заявка, поступившая в СМО в конце концов будет обслужена. Из этих условий функционирования понятно, что система может находиться в одном из бесконечного (счетного) множества состояний:

sq— в системе нет заявок, все п каналов свободны, очереди

нет;

sk(k = 1, ..., и) — в системе kзаявок под обслуживанием, все п каналов заняты, очереди нет;

S;t (k = n+l, n+2, ...) — в системе « заявок под обслуживани­ем, все п каналов заняты, в очереди стоят k—nзаявок.

Размеченный граф состояний такой СМО будет иметь сле­дующий вид:

Рис.17.1.

Поскольку длина очереди не ограничена, то предельный стационарный режим протекающего в СМО марковского слу­чайного процесса будет существовать при условии, что интен­сивность входящего потока К меньше интенсивности "потока обслуживании" всеми я каналами иц: X < яц и, следовательно, vj/ < 1. В противном случае очередь будет неограниченно расти.

Характеристики рассматриваемой СМО можно получить из соответствующих характеристик я-канальной СМО с ожидани­ем, ограничением на длину очереди в т заявок и с равномер­ной взаимопомощью между каналами при т ->• -н» с учетом того, что \\> < I.

Вероятности состояний получим из формул (16.1):