Многоканальные системы массового обслуживания с ожиданием, страница 2

Пусть n-канальная СМО (n > 2) с ожиданием без ограниче­ний на длину очереди и на время ожидания в очереди работает с взаимопомощью между каналами типа "все как один". Будем предполагать, что входящий поток, поток обслуживаний каж­дым каналом и поток обслуживаний одновременно n канала­ми - простейшие с интенсивностью соответственно λ, μ и nμ. Если пронумеровать состояния данной СМО по числу заявок, находящихся в системе (в очереди и под обслуживанием), то множество состояний будет бесконечным:

s₀— в системе нет заявок, все я каналов свободны, очереди нет;

s₁— в системе 1 заявка под обслуживанием, все п каналов заняты обслуживанием этой заявки, очереди нет;

s₂ — в системе 2 заявки: 1 заявка -- под обслуживанием и 1 заявка — в очереди, все и каналов заняты;

. . .

s_к — в системе kзаявок: 1 заявка — под обслуживанием и (k-\) заявок в очереди, все n каналов заняты;

Очевидно, что размеченный граф состояний изучаемой СМО будет иметь следующий вид:

Рис 14.1.

Рассматриваемая СМО работает как одноканальная с ожиданием, изученная нами в разделе 6. Соответственно характеристики данной СМО можно вывести из характеристик одноканальной СМО с ожиданием заменой μ на nμ и ρ = λ/μ на ψ = ρ/n = λ/μn.

Параметры и характеристики эффективности функционирова­ния многоканальной СМО с ожиданием и взаимопомощью между каналами типа "все как один" представлены в табл. 14.1 и 14.2.

Таблица 14.1

Параметры многоканальной СМО с ожиданием и взаимопомощью между каналами

типа "все как один"

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения, формулы
1	Число каналов обслуживания	п>2
2	Интенсивность входящего про­стейшего потока заявок Пвх	in Пвх = λ = const (λне зависит от времени t)
3	Интенсивность простейшего "по­тока обслуживаний" каждым   кана­лом	μ = const  (μ не зависит от времени t)
4	Интенсивность простейшего "по­тока обслуживании" одновременно п каналами	n μ
5	Нет ограничений на максимальную длину очереди	m = + ∞
6	Дисциплина взаимопомощи между каналами	"Все как один"

Таблица 14.2

Характеристики эффективности функционирования  многоканальной СМО с ожиданием и взаимопомощью между каналами типа "все как один"

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки системы	ρ = λ/μ
2	Показатель   нагрузки системы,      приходя­щейся на один канал	ψ = ρ/n = λ/μn
3	Вероятности  состоя­ний
4	Вероятность отказа	Ротк,+ = 0
5	Вероятность   приема в систему, или что то же, вероятность того, что     заявка     будет обслужена	Рсис,+ = Роб,+ = 1
6	Относительная   про­пускная способность	Q+  =1
7	Абсолютная     пропу­скная способность	A+ = λ
8	Интенсивность     вы­ходящего         потока	ν+  = A+ = λ
9	Среднее число зая­вок в очереди
10	Среднее число зая­вок под обслужива­нием	Nоб,+ = ψ
11	Среднее число заня­тых каналов
12	Среднее число заявок в системе
13	Среднее время ожи­дания заявки в оче­реди
14	Среднее время об­служивания заявки
15	Среднее время пребы­вания заявки в системе
16	С введением взаимопомощи вероятность отказа не изменяется	ротк,+ = ротк
17	С введением взаимопомощи относительная пропу­скная способность не изменяется	Q + =  Q
18	С введением взаимопомощи абсолютная пропу­скная способность не изменяется	A + = A
19	Среднее число Nоч,+ заявок в очереди с вво­дом взаимопомощи уве­личивается
20	С введением взаимопомощи среднее число заявок под обслуживанием уменьшается
21	Среднее число Nсис,+ заявок в системе с вво­дом взаимопомощи умень­шается
22	Среднее время Точ,,+ ожидания заявки в очереди с вводом взаимопомощи уве­личивается	Точ,,+  > Точ
23	Среднее время ТVоб,+ обслуживания заяв­Ки с вводом взаимопо­мощи уменьшается	ТVоб,+ < ТVоб
24	Среднее время Тсис,+ пребывания заявки в системе с вводом взаимопомо­щи уменьшается	Тсис,+  < Тсис

15. Многоканальная СМО с отказами и «равномерной» взаимопомощью между каналами

Анализ различных многоканальных систем, проведенный в разделах 12—14, показывает, что введение взаимопомощи меж­ду каналами типа "все как один" уменьшает среднее время пребывания заявки в системе, но ухудшает такие характеристи­ки, как вероятность отказа, относительная и абсолютная про­пускные способности, среднее число заявок в очереди и сред­нее время ожидания заявки в очереди. Поэтому возникает задача изменения дисциплины взаимопомощи таким образом, чтобы оно повлекло за собой уменьшение вероятности отказа и тем самым увеличение пропускной способности СМО.

Рассмотрим n-канальную СМО, на вход которой подается простейший поток заявок П_вх с интенсивностью λ. Поток об­служиваний одним каналом также простейший с интенсивно­стью μ.

Если заявка поступает в СМО, когда все п каналов свободны, то все и каналов приступают к ее обслуживанию. Если следующая заявка приходит в момент, когда все п каналов заняты (обслужи­ванием предыдущей заявки), то часть каналов переключается на ее обслуживание. Если во время обслуживания этих двух заявок по­ступает третья, то часть каналов переключается на обслуживание третьей заявки и т.д. до тех пор, пока каждая заявка, находящаяся в СМО, не окажется под обслуживанием только одного канала. При этом, очевидно, все каналы будут заняты, а заявка, пришед­шая в этот момент, получает отказ и покидает СМО необслуженной.