Спектральные представления непрерывных периодических сигналов. Вариант 2

     Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина  «Теория  и  обработка  сигналов»,     5 - й семестр

Отчет

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ  РАБОТЕ  № 2

«СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ»

Факультет: АВТ

Группа: АТ-33

Вариант: 2

Студент: Швецов А. В.                  Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Новосибирск, 2005

Цель работы:изучение понятия спектра  периодического сигнала, приобретение практических навыков вычисления и построения  графиков спектров   сигналов в  среде MATLAB.

Рис1. Вид сигнала.

Ряд Фурье:

2) Вычисление  коэффициентов разложения в комплексный ряд Фурье для сигнала x(t).

Частота основной гармоники  . 

Коэффициенты комплексного  ряда  Фурье:

 

Ряд Фурье в комплексной форме выглядит так:

 

В частности ;  ;     

Чётные члены ряда равны нулю.

График амплитудного спектра сигнала приведен ниже.

Рис. 2 Амплитудный спектр сигнала

График фазового спектра сигнала:

Рис.3 Фазовый спектр сигнала.

3) Построение графиков амплитудного и фазового спектров.

n1=1:15;

cn=j./n1/pi.*(cos(n1*pi)-1); % реализация расчета коэффициента Фурье

n2=-15:-1;

c_n=j./n2/pi.*(cos(n2*pi)-1); %на разных интервалах

Cn=[c_n 0 cn];

n3=[n2 0 n1];

n=-15:15;

figure(1);

subplot(2,1,1);

stem(n,abs(Cn)); %построение графика амплитудного спектра сигнала

title('|Cn|');

subplot(2,1,2);

stem(n,angle(Cn)); % построение графика фазового спектра сигнала

title('angle(c_n) in rad');

Рис.4  - Амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Графики амплитудного и фазового спектров построенные аналитически совпадают с графиками полученными с помощью пакета MATLAB.

4) Определение  спектра Фурье сигнала с помощью функции fft() Matlab.

T=20;% период сигнала

t=0:T/63:T;% временной интервал

x=1*rectpuls(t-5,10)-1*rectpuls(t-15,10);% генерирование сигнала

figure(2);

% график сигнала

subplot(311), plot(t,x)

title(' График сигнала')

k=0:1:63;

% коэффициенты ряда Фурье

C=j/k/pi.*(cos(pi*k)-1);

% график амплитудного спектра

subplot(312),

stem(2*pi*k/T, abs(C));

title(' Амплитудный спектр сигнала')

y=fft(x,64);% Дискретное преобразование Фурье сигнала

% график ДПФ

subplot(313), stem(2*pi*k/T, abs(y)/64)

xlabel(' Угловая частота,  рад/сек')

title(' Амплитудный спектр сигнала по процедуре fft')

Рис.5  - Сигнал, амплитудный спектр и угловая частота.

Комментарии к m-файлу p4.m:

Функция fft(X,n) — возвращает n-точечное преобразование Фурье. Если длина вектора X меньше n, то недостающие элементы заполняются нулями. Если длина X больше n, то лишние элементы удаляются. Когда X — матрица, длина столбцов корректируется аналогично;

5)  Файл-сценарий для исследования сходимости ряда Фурье к исходному периодическому сигналу.

   % Приближение сигнала

T=20;

w0 = 2*pi/T;

t = -1.5*T:T/1000:1.5*T;

N = input('Number of harmonics:');

c0 = 0;

x = c0*ones(1,length(t)); % dc component

for n=1:N,

cn = j./n/pi.*(cos(n*pi)-1);

c_n = conj(cn);

x = x + cn*exp(j*n*w0*t) + c_n*exp(-j*n*w0*t);

end

figure(3);

plot(t,x);

grid

title(['N = ',num2str(N)])

Построение двадцати гармоник сигнала:

Рис.6 – Приближение сигнала N = 20

Рис.7 – Приближение сигнала N = 30

При приближении ряда к исходному сигналу, путём суммирования рядов Фурье наблюдается  Явление Гиббса – явление, связанное с появлением пульсаций.

Рис. 8 - Явление Гиббса (увеличенный масштаб)

6)  Cинтез периодического сигнала с использованием пакета Simulink.

Рис. 9   Вид S - модели Фурье-синтеза сигнала

Результат работы схема:

Рис. 10 – Синтезированный сигнал через сумматор.

Рис. 11 – График всех сигналов через мультиплексор.

Выводы:

·  В ходе данной лабораторной работы были изучены  комплексная и тригонометрические формы рядов Фурье, понятия амплитудного и фазового спектров периодических непрерывных во времени сигналов.

·  Получили амплитудные спектры с помощью аналитических выкладок и  функции MatLab – fft() , сравнив построенные графики, убедились, что они одинаковы независимо от используемого метода вычисления.

·  Получили представление об эффекте Гиббса: при различном количестве гармоник амплитуда не изменяется.

·  При помощи пакета расширения Matlab – Simulink, предназначенного для моделирования динамических систем, был синтезирован сигнал из первых 13 гармоник (при помощи сумматора).