Информатика и выч. техника \ Теория и обработка сигналов

Разработка цифрового БИХ-фильтра нижних частот Чебышева 2-го типа. Вариант 9, страница 2

Преобразование V → w является нелинейным, но оно близко к линейному при небольших w. Частота среза V_c аналогового фильтра соответствует частоте среза w_c цифрового фильтра. По значениям V_c и w_c можно вычислить постоянную k.

Если аналоговый фильтр нормализован и то

При этом [1].

При билинейном преобразовании левая половина s-плоскости отображается внутрь единичной окружности в z-плоскости, поэтому синтез по устойчивому прототипу даст гарантированно устойчивый дискретный фильтр

[3].

3. Проектирование фильтра

3.1.Получение спецификации АФ на основе спецификации ЦФ;

3.2. Проектирование аналогового нормированного фильтра (прототипа)

3.3. Трансформация АФ в ЦФ

3.1. Получение спецификации АФ на основе спецификации ЦФ

Спецификация ЦФ:

Fp=10000; %Гц, граничная частота полосы пропускания

Fs=11000; % Гц, граничная частота полосы задерживания

Ft=50000; % Гц, частота дискретизации

Rp=1; % Дб, неравномерность передачи в полосе пропускания

Rs=60; % Дб, минимальное ослабление в полосе задерживания

Tt=1/Ft; % сек, период дискретизации

Вычисление нормированных частот:

wp=2*pi*Fp/Ft % рад/отсчет, нормированная частота среза

ws=2*pi*Fs/Ft % рад/отсчет, нормированная граничная частота полосы задерживания

wp = 1.2566 рад/отсчет

ws = 1.3823 рад/отсчет

Определение граничных частот по АФ по :

Ws=2*Ft*tan(ws/2) % рад/с

Wp=2*Ft*tan(wp/2) % рад/с

Ws = 8.2727e+004 рад/с

Wp =7.2654e+004 рад/с

3.2. Проектирование аналогового прототипа

Проектирование аналогового фильтра будем осуществлять на основе нормированного ФНЧ (НФНЧ).

Определение граничной частоты полосы задерживания НФНЧ:

Omega_s=Ws/Wp

Omega_s = 1.1386

Параметры НФНЧ: V_p=1, V_s=1.1386, Amax=Rp=1дБ, Amin=Rs=60дБ.

Вычислим минимальный порядок аналогового прототипа, необходимый для выполнения заданных требований, используя функцию cheb2ord()

[n,Wn]=cheb2ord(1, Omega_s, Rp, Rs,'s')

n = 16

Wn = 1.1368

Определение коэффициентов передаточной функции НФНЧ поcheby2().

[b,a]=cheby2(N, Rs, Wn, ’s’) вычисляет коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции аналогового фильтра H(s) Чебышева 2-о типа порядка N с частотой среза Wn и минимально допустимыми отклонениями в полосе задерживания Rs дБ

[b,a]=cheby2(n,Rs,Wn,'s');

Преобразование НФНЧ в ФНЧ производится с помощью функции lp2lp().

В нее передаются коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи (b,a) НФНЧ и частота среза, а ею возвращаются коэффициенты аналогового ФНЧ (num и den).

[num,den]=lp2lp(b,a,Wp);

3.3. Преобразование аналогового прототипа в цифровой фильтр

Для синтеза дискретных фильтров по произвольным аналоговым прототипам методом билинейного z - преобразования предназначена функция bilinear(). Num и den– коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи аналогового прототипа, Ft – частота дискретизации в герцах [3].

[numd,dend]=bilinear(num,den,Ft)

numd =

0.0129 0.0565 0.1767 0.4090 0.7785 1.2495 1.7327 2.0989 2.2360

2.0989 1.7327 1.2495 0.7785 0.4090 0.1767 0.0565 0.0129

dend =

1.0000 -0.3335 3.1096 -0.0692 3.8851 0.9510 2.7700 1.2207 1.3186

0.6725 0.4253 0.1943 0.0831 0.0283 0.0077 0.0015 0.0002

Векторы numd и dend содержат коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции целевого фильтра.

Запишем уравнение проектируемого цифрового фильтра.

Передаточная функция БИХ - фильтра выражается дробно-рациональной функцией:

В общем виде цифровые БИХ - фильтры описываются линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами:

где x(n) – входной сигнал, y(n) – выходной сигнал, a_k, b_k – коэффициенты фильтра [1]. Используя выше приведенные коэффициенты передаточная функция фильтра:

Отсюда уравнение проектируемого фильтра будет иметь вид:

Для оценки устойчивости спроектированного цифрового фильтра, построим диаграмму нулей и полюсов:

zplane(numd,dend)

Рис.3. Диаграмма нулей и полюсов.

По условию устойчивости полюсы должны быть внутри единичной окружности на плоскости z. Из полученной диаграммы видно, что спроектированный фильтр является устойчивым.

Построим АЧХ и ЛАЧХ цифрового фильтра нижних частот Чебышева 2-го типа.

[H,f]=freqz(numd,dend,256,Ft);

subplot(2,1,1)

plot(f,abs(H)),grid

axis([0,20000,0,1.2])

title('Magnitude response')

xlabel('Frequency, Hz ')

subplot(2,1,2)

plot(f,20*log10(abs(H))),grid

axis([0,20000,-85,0.1])

title('Logarifmic magnitude response')

xlabel('Frequency, Hz ')

ylabel('Magnitude, dB ')

Рис.4 Графики АЧХ и ЛАЧХ цифрового ФНЧ Чебышева 2-го типа

При увеличении масштаба АЧХ (рис.5) можно убедиться в наличии равноволновых пульсаций в полосе задерживания спроектированного фильтра, что обусловлено его спецификой.