Приближение функции различными методами. Численные методы интегрирования. Поиск числовых значений производных функций численным методом, страница 2

Квадратичное отклонение для различных m:


Метод наименьших квадратов с использованием ортогональных многочленов Чебышева.

Суть метода Чебышева состоит в том, что приближающий многочлен находится (строится) в виде суммы многочленов, выбранных специальным образом:

где , , и вообще:

Зададим начальные условия:

Отрезок:

Шаг:

Число узлов интерполирования:

Степень полинома =0:

Перейдём теперь к построению самих многочленов. Эти многочлены строятся рекурсивным путём на основе применения рекуррентной формулы второго порядка, позволяющей вычислять следующий многочлен по двум предыдущим.

Степень полинома =1:

Степень полинома =2:

Степень полинома =3:

Степень полинома =4:

Значения, полученные при аппроксимации полиномами различных степеней (0,1,2,3,4) заданной функции и отклонения от точных значений:


Метод интерполирования с применением сплайн-функций.

Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубический полином. Сплайн-интерполяция по сравнению с другими методами интерполяции обеспечивает наилучшее приближение.

Исследуем интерполяцию кривой f(x)=1/(1+x2) в интервале [1;6].

Пусть, j=0…10. Зададимся опорными точками (они вычисляются по формуле:

Xj=a+h/2+h(j-1)).

- получаем таблицы значений

Построим графики реальной и аппроксимированной функций в заданном интервале:

Сравним таблицы значений:

При данном n значения реальной и аппроксимированной функций совпадают вплоть до 8-го порядка. При больших n точность вычисления возрастает. Это говорит о высокой эффективности интерполирования с применением сплайн-функции.

Метод интерполирования тригонометрическими многочленами.

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного многочлена наименьшей степени, удовлетворяющего условиям Pм(xi)=f(xi), i = l,…, 2n+1.

Решением этой задачи является тригономет­рический многочлен

         ,

коэффициенты которого вычисляются по следующим формулам:

        

Широкие возможности тригонометрической интерполяции сле­дуют из того факта, что с возрастанием n многочлен Р(х) аппроксимирует f(x) с возрастающей точностью, т. е.

В нашем случае (согласно заданию) n берётся небольшим (n=6-8), поэтому велика погрешность вычислений.

Зададим таблицу значений и n:

Эта таблица значений взята из предыдущего метода интерполяции с применением кубического сплайна (таблица значений f(Xj)).

Получим тригонометрический многочлен:

Построим графики реальной функции f(x), функции, полученной с помощью аппроксимации тригонометрическим многочленом, а также с помощью функции Func(A,n). Даже сравнивания эти графики, можно заключить, что при данном значении n аппроксимированные функции не совпадают с реальной, хотя и повторяют её контуры.

Сравнение результатов приближения функции различными метолами.

Метод наименьших квадратов (его классический вариант) даёт достаточно хороший результат. Уже при степени полинома равной четырём квадратичное отклонение равно 0.00011639.