Определение дискретно-временного преобразования Фурье

Страницы работы

Содержание работы

Определение

дискретно – временного  преобразования  Фурье

Преобразование  Фурье непрерывного сигнала  x(t)

ставит в соответствие  функции x(t) её спектральную плотность  X(jω). Для сигналов дискретного аргумента x(nΔt)=x[n]Δt = 1/FS  преобразование Фурье имеет некоторые особенности и свойства, обусловленные дискретизацией. Эту разновидность  называют дискретно – временным преобразованием Фурье (ДВПФ).

Для его получения представим интеграл в виде приближения  - интегральной суммы

.

        Для         .

Правая часть получившегося выражения  и  есть дискретно – временное  преобразование  Фурье (англ. Discrete Time Fourier Transform, DTFT)   дискретного сигнала x[n] ,  которое   определяется следующим образом

 – прямое ДВПФ, выражение анализа.

Оно имеет для дискретных сигналов  x[n] тот же смысл, что обычное прямое преобразование Фурье для непрерывных сигналов  x(t).   Нотация .

В некоторых источниках его обозначают как X(ω).   В данном курсе используется нотация .

ДВПФ позволяет найти частотный спектр  , называемый также спектром Фурье,  последовательности x[n].

В общем случае  X(e ) – комплексная функция действительной переменной ω и может быть представлена в алгебраической  или в полярной (показательной) форме

                  .

В этих выражениях 

 - действительная часть, - мнимая часть ДВПФ сигнала x[n], - амплитудный спектр (функция модуля  X(e )),  - фазовый спектр (функция фазы X(e )) сигнала  x[n].

Особенность (свойство)  ДВПФ:  сигнал x[n] – дискретный по аргументу, спектр Фурье   - непрерывный по аргументу ω.

            Характерное отличие ДВПФ от непрерывного преобразования ПФ состоит  также в том, что оно является периодическим по аргументу ω  с периодом  2π,  в то   время как НВПФ  X(jω)- апериодическая функция ω.    Действительно,

   .

Ввиду периодичности представляет собой ряд Фурье по переменной ω.  Выражение для коэффициентов этого ряда

   .

и есть обратное ДВПФ (ОДВПФ, англ. IDTFT), которое называют также выражением синтеза сигнала  x[n] по его спектру.

Доказательство:

.

Интеграл

Поэтому

 Получено тождество, следовательно, формула обратного ДВПФ – верна.

В случае дискретизации сигнала x(t) с интервалом отсчетов   

выражения ДВПФ приобретают вид:

Во второй части курса после знакомства с Z – преобразованием будет строго показано, что ДВПФ может рассматриваться как Z – преобразование дискретного сигнала на мнимой оси комплексной плоскости z

.

Пример 1. Определим ДВПФ сигнала  

Представим этот  сигнал  в виде суммы (комбинации) двух сигналов

  и      ДВПФ  этих сигналов

,

Графики сигнала и его амплитудного и фазового спектра

% Script-файл

n=-20:20;

a=0.5;

x=a.^abs(n);

stem(n,x)

xlabel('n')

title('x[n]')

figure

w=-3*pi:0.1:3*pi;

X=0.75./(1-cos(w)+0.25);

plot(w, X)

xlabel('\omega')

ylabel('X(e^j\omega)')

title('DTFT of 0,5^n')

 
 
 

Вид графика  подтверждает,

что ДВПФ -  периодическое и повторяет себя с периодом  2π.

 

Пример 2. Найдем ДВПФ дискретного прямоугольного импульса

 В преобразовании этого выражения использована формула суммы конечной геометрической прогрессии.   Если ,  то

Действительно,  здесь  .  

Ниже приведен график  амплитудного спектра  для N1 = 2.

Сопоставьте  этот результат с НВПФ для

 (лекция  5)

 
Подпись:


Найдем ДВПФ комплексной гармоники, определяемой выражением

.

ДВПФ  этого сигнала

,   где  - дельта функция от ω,  k=1,2,3,…

Для доказательства возьмем  ОДВПФ от  X(e)

Сравните этот результат с  для сигналов непрерывного времени.

Условие сходимости ДВПФ

            Бесконечный ряд    может сходиться или расходиться.  Условие сходимости ДВПФ

, т.е. требуется абсолютная сходимость x[n], или  .    Поскольку  , то абсолютная сходимость   выполняется для сигналов с конечной энергией.

Обратное  ДВПФ

Выражение     используется для определения  сигнала x[n] по его  спектру Фурье.

Пример.   Пусть  ,  определим x[n].
Запишем  

Непосредственное сравнение левой и правой части дает

.

Отсюда 

.

Использованный в примере метод называется методом разложения  в степенной ряд.

Кроме этого метода используется также метод разложения на простые дроби, который будет подробно рассматриваться во второй части курса.

Вычисление ДВПФ  в MatLAB

Для вычисления ДВПФ может использоваться приведенная ниже файл – функция, основанная на использовании встроенной в Matlab функции  fft().

function [X,w] = DTFT(x,M)

% Функция вычисляет значения DTFT от вектора x.

% Обращение

%             [X,w] = DTFT(x,0)

% здесь X - вектор значений DTFT,

% w - вектор угловых частот.

% Если желательно вычислить DTFT с M значениями частоты,

% используется обращение

%             [X,w] = DTFT(x,M)

% Этот вариант используется, когда размер вектора x 

% меньше  размера вектора частот w,

% при этом x дополняется нулевыми значениями

N = max(M,length(x));

% Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)))

% Вычисление  fft

X = fft(x,N);

% Вектор  частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi)

% Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

 X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

Пример.  Пусть  Определим ДВПФ этого сигнала и построим график амплитудного спектра.

Код Matlab

n=-20:20;

x=0.5.^abs(n);

[X,w]=DTFT(x,128);

subplot(121)

stem(n,x), grid

subplot(122),

plot(w, abs(X))

grid

Для вычисления  ДВПФ может также использоваться функция freqz()   Matlab. При этом функция X(e) должна быть рациональной функцией вида

.

Функция freqz() имеет несколько форм синтаксиса.  В самой простой из них
[h, w] = freqz(num, den, n)    она возвращает  n комплексных значений X(e) в диапазоне ω от 0  до π по значениям коэффициентов полинома числителя  num и полинома знаменателя den. По умолчанию n = 512.

Пример.  Пусть 

Код Matlab

num=[0 1.5];                                             

den=[1 -0.5 -1];

            [X  w1]=freqz(num, den, 128);

 plot(w1, abs(X)),  grid

Свойства  ДВПФ

ДВПФ имеет свойства, аналогичные свойствам НВПФ.

В таблице перечислены наиболее важные из этих свойств.

Свойство

Временная область

(Time   domain)

Частотная  область

(Frequence   domain)

  1. Линейность
  2. Временной сдвиг

3.  Частотный сдвиг



4. Симметрия




5.  Реверсирование во времени

  1. Свертка

  1. Умножение





x[n-k]

- четная  функция

-нечетная

функция   ω

8. Дифференцирование



9.  Теорема
Парсеваля



Рассмотрим доказательства наиболее важных из  этих свойств

1.  Докажем свойство временного сдвиг 
Пусть  ,  тогда 

В частности,  для     

  ,  отсюда    ,

т.е.,  сдвиг x[n] на k тактов во времени вызывает фазовый сдвиг   на

2.  Теорема  Парсеваля.   Энергия сигнала 
Согласно обратному  ДВПФ   .  Отсюда

, следовательно,

Энергия =

Равенство Парсеваля позволяет определить энергию сигнала в частотной области, если это упрощает вычисление. Иногда это так.

Свойство свертки ДВПФ

Свертке двух последовательностей во временной области отвечает произведение их дискретных преобразований Фурье в частотной области

.    Доказательство.  Положим  ,

.

Заменим  ,  при этом

.

Таким образом, свертке во временной области соответствует произведение спектров в частотной области        

Рассмотрим пример применения свойства свертки.

Пример

Пусть 

.

- рациональная функция (отношение полиномов) от .

            Разложим  y[n] на простые дроби.

Если  .  Следовательно,

.

Связь импульсной и частотной характеристик линейной дискретной системы

       Во временной области линейные дискретные во времени системы (ЛДС) описываются линейными разностными уравнениями вида

,

где   - входной сигнал,

         - выходной сигнал,

          - коэффициенты уравнения.

Возьмем ДВПФ от обеих частей уравнения, при этом по свойству временного сдвига

.

С учетов свойства линейности получим в частотной области

.

Отношение ДВПФ выхода и входа    есть частотная характеристика ЛДС                                .

При этом        

Заключение

  • Для дискретных по аргументу сигналов их спектральные представления основаны на использовании дискретно -  временного преобразования Фурье (ДВПФ)
                                - прямое ДВПФ,

                                  - обратное (инверсное) ДВПФ.
ДВПФ является непрерывной по аргументу ω  функцией и периодической с периодом  .

  • Для сходимости ДВПФ необходимо выполнение условия абсолютной сходимости для последовательности   

         

  • ДВПВ имеет свойства, аналогичные свойствам НВПФ: линейности, симметрии, временного сдвига, частотного сдвига, свертки, умножения и др.
    Web- сайт для демонстрации свойств ДВПФ
    http://www.jhu.edu/%7Esignals/dtftprops/indexDTFTprops.htm
  • Основное уравнение анализа линейных дискретных по времени систем в частотной области 
                              
 
 

Похожие материалы

Информация о работе