Изучение преобразования Фурье и его свойств. Вариант 2, страница 2

subplot(313), plot(f,angle(y1p)), title('Фазовый спектр')

xlabel('Частота,  Гц')

Результатом выполнения данного Script-файла – построение графиков амплитудного и фазового спектров одностороннего экспоненциального сигнала с помощью функции dftsum().

Рис.4 Графики одностороннего экспоненциального сигнала,

 его  амплитудного и фазового спектров построенных через dftsum().

7.  Проведение вычисления и построения графиков спектров сигнала с помощью функции fft().

Листинг Script-файла p7.m

%Script-файл для сравнения амплитудных спектров одного и того же сигнала

%построенных с помощью аналитических вычислений и с помощью функции MatLab

%fft()

T=5;             

N=128;          % число точек

Ts=T/(N-1);     % интервал отсчетов

t=0:Ts:T;       % временной интервал

K=10;

a=2;

x=K*exp(-a*t);  % генерирование импульса

figure(1);

subplot(311), plot(t, x) % график сигнала

title(' График сигнала')

Fmax=1/Ts;              % максимальная частота

df=1/T;                 % частотное разрешение

f=-Fmax/2:df:Fmax/2;    % частотная шкала

X=fft(x,N);             % БПФ сигнала

Xp=fftshift(X);         % частотный сдвиг

A=abs(Xp);

subplot(312), plot(f,A*Ts)

title('fft- Амплитудный спектр сигнала')

S=K./(a+j*f);           % выражение %комплексного спектра 

subplot(313), plot(f, abs(S))

xlabel('  Частота, Гц')

title(' Амплитудный спектр сигнала ')

Рис.5 Графики амплитудного спектра сигнала 1 (2 - с помощью fft(),3 - аналитический)

8.  Изучение свойств преобразования Фурье:

(с помощью процедуры  из Приложения 5)

% Процедура иллюстрации свойств преобразования Фурье

N = 128; %  Длина сигналов

k = 0:N-1;

gamma = -0.5;

g = exp(gamma*k);

% g - экспоненциальная функция

h = sin(2*pi*k/(N/2));

figure(1),plot(k,g,k,h)

% h - синусоидальная последовательность с периодом = N/2

% вычисление преобразований Фурье сигналов

[G,w] = freqz(g,1,512);

[H,w] = freqz(h,1,512);

Рис.6 Графики исходных сигналов

% Свойство линейности

alpha = 0.5;

beta = 0.25;

y = alpha*g+beta*h;

[Y,w] = freqz(y,1,512);

% Графики Y и  alpha*G+beta*H для проверки их равенства

figure(2), subplot(211),plot(abs(Y))

subplot(212), plot(abs(alpha*G+beta*H))

Рис.7 Иллюстрация свойства линейности

Комментарии:

Y – это спектр суммы исходных сигналов, а alpha*G+beta*H – сумма спектров исходных сигналов. Идентичность графиков показывает справедливость свойства линейности преобразований Фурье.

% Свойство временного сдвига

n0 = 12;

% y2 - последовательность y, сдвинутая на 12 отсчетов

y2 = [zeros([1,n0]) g];

[Y2,w] = freqz(y2,1,512);

G0 = exp(-j*w*n0).*G;

% Графики амплитудных спектров

figure(3), subplot(211), plot(abs(G0))

subplot(212), plot(abs(Y2));

Рис.8 Иллюстрация свойства временного сдвига

Комментарии:

При сдвиге во времени меняется только фазовый спектр, , и не меняется амплитудный.

 

При сдвиге функции на t₀, модуль S(ω) не изменяется, а сдвигается во времени на t₀.

% Свойство изменения масштаба

a=0.1;                        % Коэффициент изменения масштаба

g1= exp(gamma*k*a);

figure(4),plot(k,g,k,g1)      % Графики во временной области

[G,w] = freqz(g,1,512);

G1 = freqz(g1,1,512);

% Графики спектров

figure(5), subplot(211), plot(w',abs(G))

subplot(212), plot(w,abs(G1))

Рис.9 Графики сигналов во временной области

(коэффициент масштабирования а = 0.1)

Рис.10 Графики спектров (а = 0.1)

Комментарии:

При данном изменении масштаба:

•  скорость убывания экспоненциальной зависимости уменьшилась.
•  амплитудный спектр сигнала стал выше, но его спад до нуля стал более резким.

% Свойство свертки

y5 = conv(g,h);

[Y5,w] = freqz(y5,1,512);

figure(6), subplot(211), plot(abs(Y5))

subplot(212), plot(abs(G.*H))

Рис.11 Иллюстрация свойства свертки.

Комментарии:

Спектр свертки равен спектру произведения преобразований Фурье сигналов.

% Теорема Парсеваля

H0 = exp(-j*w*n0).*H;

val1 = sum(g.*conj(h));

val2 = sum(G0.*conj(H0))/512;

% Сравнение val1 с  val2

disp('Разность   val1-val2 = ')

disp(val1-val2)

Результат работы:

>> Разность   val1-val2 =

   0.0000 - 1.3618i

Комментарии:

Теорема Парсеваля заключается в том, что полная энергия сигнала равна сумме энергий всех его частотных составляющих. Однако энергетический спектр не содержит информацию о фазах гармоник сигнала, и, значит, эта часть сведений о сигнале из его энергетического спектра не может быть получена.

Теорема Парсеваля:

Выводы:

• Амплитудным спектром непериодического сигнала называется зависимость  |S(f)|. Она характеризует плотность амплитуды гармоник, входящих в непрерывный сигнал. Фазовым спектром называется зависимость . Она отражает зависимость распределения начальных фаз гармоник от частоты сигнала.
• При увеличении периода в непрерывном  прямоугольном периодическом сигнале наблюдается уменьшение количества импульсов, а спектр становится более “частым”.
• Спектры одностороннего экспоненциального сигнала были найдены тремя способами:
• аналитически
• при помощи функции dftsum()
• при помощи функции fft()
• В ходе лабораторной работы были изучены некоторые свойства преобразований Фурье, а именно:
• Свойство линейности

• Свойство временного сдвига

• Свойство изменения масштаба
• Свойство свертки s₁(t) * s₂(t) « S₁(w) S₂(w).