МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Вариант 7
Группа: АТ-73 Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.
Студент: Кухарева А.В.
Новосибирск
2010
Цель работы: изучение методов анализа линейных дискретных стационарных (инвариантных во времени) систем и приобретение практических навыков их анализа в среде Matlab.
1. Дискретизация аналогового фильтра.
ФВЧ
C=0,5 мкФ, R=1 кОм
Дана схема аналогового ФВЧ (рис.1).
|
||||||||||
 |
||||||||||
 |
||||||||||
 |
||||||||||
|
||||||||||
Рис. 1. Схема аналогового ФВЧ.
В предположении идеального операционного усилителя передаточная функция фильтра имеет вид
(1)
Обозначим 
,
, 
.
Получим
(2)
Запишем по виду передаточной функции дифференциальное уравнение, связывающее выходное и входное напряжения фильтра
(3)
Произведем дискретизацию аналогового фильтра с интервалом отсчетов Δt.
Для этого заменим в выражении (3) производную конечной разностью вида
,
(4)
где 
-
величина шага приращения времени (интервал дискретизации).
Формула для производной второго порядка через конечные разности
(5)
При этом уравнение (3) преобразовывается к виду
(6)
Положим 
и
обозначим 
, аналогично 
.
Тогда выражение (6) приобретает вид
(7)
Далее при исследовании заданного фильтра будем использовать следующие значения сопротивлений и емкостей:
С1=2 мкФ, С2=5 мкФ, R1=1 кОм, R2=0.5 кОм, R3=5 кОм, R4=0.5 кОм.
При данных значениях рассматриваемый фильтр является фильтром верхних частот с частотой среза fc по уровню 3 дБ, равной 192 Гц (рис. 2).
Рис. 2. АЧХ аналогового ФВЧ.
Верхняя
граничная частота дискретного фильтра равна половине частоты отсчетов Fs. Выберем для данного случая значение Fs = 10 4 Гц, что соответствует
интервалу (периоду) отсчетов 
Подставив в выражение (7)
выбранные значения 
, сопротивлений и емкостей
и преобразовав результат, получим разностное уравнение (8).
(8)
2. Определение передаточной функции системы, разложение её на простые дроби и определение импульсной характеристики аналитически.
Для получения передаточной функции системы возьмем Z - преобразование от левой и правой части уравнения (8).
С учетом теоремы сдвига получим
(9)
Запишем передаточную функцию дискретного фильтра как отношение Z - преобразований выходного и входного сигналов
(10)
Разложим полученную передаточную функцию на простые дроби.
Воспользуемся следующей последовательностью команд для определения полюсов, вычетов и коэффициентов целой части.
num = [1.1 -2.2 1.1];
den = [1 –1.865 0.867];
[r, p, k]=residuez(num,den)
Получим
r =
0.0032
-0.1719
p =
0.9831
0.8819
k = 1.2687
Запишем разложение передаточной функции на простые дроби (11).
(11)
Используя полученное разложение, найдём аналитически импульсную характеристику системы как обратное Z – преобразование от передаточной функции.
Так как 
,
то 
,
.
Так как 
,
то 
.
Таким образом, получили импульсную характеристику системы (12).
(12)
С помощью следующей последовательности команд построим график импульсной характеристики по выражению (12).
n = 1: 100;
n1 = 0: 100;
h = [1.2687+0.0032-0.1719 0.0032*(0.9831).^n-0.1719*(0.8819).^n];
stem(n1, h)
Рис. 3. График импульсной характеристики, определённой аналитически.
На рис. 3 видим, что график импульсной характеристики системы стремится к нулю, значит система устойчива и для ограниченного входного сигнала на выходе получим ограниченный выходной.
3. Построение диаграммы нулей и полюсов системы.
С помощью следующей последовательности команд определим полюса и нули системы как корни знаменателя и числителя передаточной функции, а также построим диаграмму нулей и полюсов.
num = [1.1 -2.2 1.1];
den = [1 -1.865 0.867];
Z = roots(num)
P = roots(den)
zplane(Z, P)
Получили следующие значения нулей и полюсов
Z =
1
1
P =
0.9831
0.8819
Полученная диаграмма нулей и полюсов изображена на рис. 4.
|
Рис. 4. Диаграмма нулей и полюсов системы.
На диаграмме рис. 4 видим, что нули и полюса лежат внутри единичной окружности, значит, система устойчива. Данный результат соответствует виду импульсной характеристики системы, приведённому на рис. 3.
Зная значения полюсов и нулей системы, запишем полюсно-нулевое представление передаточной функции.
(13)
Преобразовав выражение (13), получим
(14)
Видим, что
выражение (14) совпадает с выражением ПФ системы (10) с точностью до константы
усиления k = 1.1. Значит, передаточная функция
системы с точностью до константы 
определяется
расположением нулей и полюсов в z- плоскости.
4. Определение частотной характеристики системы с помощью функции freqz().
С помощью следующей последовательности команд проведём расчет частотной характеристики системы и построим графики её АЧХ и ФЧХ, используя функцию freqz().
num = [1.1 -2.2 1.1];
den = [1 –1.865 0.867];
subplot(2,1,1);
[H,F] = FREQZ(num,den,100000,10^4);
plot(F, abs(H))
set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)
title('АЧХ цифрового фильтра');
subplot(2,1,2);
plot(F, angle(H))
set(gca,'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)
title('ФЧХ цифрового фильтра');
xlabel('Частота, Гц');
Результат представлен на рис. 5.
Рис. 5. Графики АЧХ и ФЧХ рассматриваемой системы.
На рис. 5 видим, что данная система является фильтром верхних частот.
Частота среза fc данного фильтра по уровню 3 дБ, равна 180 Гц.
Для сравнения построим графики АЧХ и ФЧХ аналогового и цифрового фильтров в одной системе координат.
Рис. 6. Графики АЧХ и ФЧХ аналогового и цифрового фильтров.
На рис. 6 видим, что расхождение между графиками АЧХ аналогового и цифрового фильтров равно приблизительно 0.1, а между их ФЧХ расхождений не наблюдается.
Частота среза аналогового фильтра равна 192 Гц, а дискретного – 180 Гц.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
