Информатика и выч. техника \ Теория и обработка сигналов

Изучение Z-преобразования и дискретно- временного преобразования Фурье. Вариант 7, страница 2

(**)

Обратное Z – преобразование выражения (**) дает искомое решение во временной области.

Для нахождения обратного Z – преобразования найдём полюса выражения (**) и разложим его на простые дроби.

Полюса:

Разложение Y(z) на простые дроби:

(***)

Найдём значения коэффициентов числителей дробей

Подставив в (***) найденные значения коэффициентов, получим итоговое разложение Y(z) на простые дроби:

Воспользовавшись соотношением , найдём обратное Z – преобразование Y(z), являющееся решением исходного уравнения:

(#)

Проверим полученное решение, подставляя значения в выражения (#) и (##), полученное из исходного уравнения:

(##)

Полученные значения совпадают с определённой погрешностью, поэтому на основании проверки можно сделать вывод о том, что решение возможно верно (кривая решения может пересекаться в одной точке с бесконечным количеством любых кривых, если точек пересечения две, то количество возможных для пересечения линий уменьшается, если три – то ещё больше уменьшается и т.д.).

6. Определение Z – преобразования и ДВПФ сигнала аналитически.

Прямое ДВПФ имеет вид (###)

Здесь - непрерывная функция от ω, а x[n] – дискретный по времени сигнал.

Выражение обратного ДВПФ: .

ДВПФ – это Z – преобразование на единичной окружности, т.е. при .

Вычислим Z – преобразование сигнала аналитически, используя формулу суммы конечной геометрической прогрессии. Получим:

Учитывая, что ДВПФ – это Z – преобразование при , получим выражение ДВПФ сигнала вида

Такой же вид ДВПФ можно получить, воспользовавшись выражением (###).

7. Определение ДВПФ сигналов с помощью Matlab.

Пользовательская функция DTFT( ) Matlabвычисляет дискретно-временное преобразование Фурье с помощью ДПФ.

function [X,w] = DTFT(x,M)

% Функция вычисляет значения DTFT от вектора x.

% Обращение [X,w] = DTFT(x,0)

% здесь X - вектор значений DTFT,

% w - вектор угловых частот.

% Если желательно вычислить DTFT с M значениями частоты,

% используется обращение [X,w] = DTFT(x,M)

% Этот вариант используется, когда размер вектора x

% меньше размера вектора частот w,

% при этом x дополняется нулевыми значениями

N = max(M,length(x));

% Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)))

% Вычисление fft

X = fft(x,N);

% Вектор частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi)

% Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

С помощью функции DTFT( ) определим ДВПФ следующих сигналов и построим графики их амплитудного и фазового спектров.

а) x[n] = e^-0,5ⁿ

Для определения ДВПФ сигнала и построения графиков его амплитудного и фазового спектров воспользуемся следующим script-файлом.

n=0:1:15;

x=exp(-0.5*n);

[X,w]=DTFT(x,64)

subplot(3,1,1);

stem(n,x);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Cигнал');

subplot(3,1,2);

plot(w,abs(X))

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Амплитудный спектр');

subplot(3,1,3);

plot(w,angle(X))

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Фазовый спектр');

Результат представлен на рис. 1.

Рис. 1. График сигнала x[n] = e^-0,5ⁿ и его амплитудного и фазового спектров.

Видим, что спектры дискретного сигнала x[n] = e^-0,5ⁿ непрерывны. График амплитудного спектра сигнала обладает чётной симметрией, а фазового спектра – нечётной.

б)