Цепи с обратной связью. Нелинейные цепи. Усилительные устройства. Автоколебательные системы (12-15 главы учебника "Радиотехнические цепи и сигналы" под ред. К.Е.Румянцева), страница 14

13.3. Воздействие гармонического колебания на нелинейное сопротивление

               Нелинейная зависимость между током и напряжением в нели­нейном резисторе оказывает влияние на изменение формы сигна­лов, приложенных к этому элементу. Рассмотрим это на примере нелинейного резистора, ВАХ которого аппроксимируется поли­номом n-й степени:

                                                                    (13.1)

              Пусть к элементу приложено напряжение и = Umcos(ωt), изме­няющееся по гармоническому закону. Подставляя это напряжение в (13,1), получим выражение, описывающее ток нелинейного резистора:

               Применив в полученном выражении к слагаемым со степеня­ми больше первой тригонометрические преобразования, получим их следующие представления:

a5U5m cos5 (ωt)= (5a5U5m/8) cos (ωt)+(5 a5U5m/16) cos(3 ωt) +( a5U5m/16) cos(5 ωt).

              Тогда ток нелинейного резистора представится суммой спектраль­ных составляющих с частотами, кратными исходной частоте ω:

i= Iо + I1 cos(ωt) + I2cos(2 ωt) + I3cos(3 ωt) + ...+ Incos(n ωt),

где Iо, I1 I2, ..., Iп— амплитуды гармонических составляющих, причем

              Проведя анализ отклика (тока) нелинейного резистора при приложении к нему гармонического напряжения (входное воз­действие), отметим следующее:

              отклик представляет собой сумму спектральных составляющих с частотами, кратными частоте входного воздействия;

              в отклике присутствует постоянная составляющая I0, которой нет во входном воздействии, при этом вклад в постоянную со­ставляющую отклика вносят только четные гармоники;

              номер максимальной гармонической составляющей равен сте­пени полинома, аппроксимирующего ВАХ нелинейного резистора;

              составляющие полинома с четными степенями соответствуют четным, а с нечетными степенями — нечетным гармоническим составляющим.

              Анализ отклика нелинейного резистора на входное воздействие, представляющее собой гармоническую функцию, показал, что в отклике присутствует множество гармонических составляющих с частотами, кратными частоте входного воздействия. Эта особен­ность нелинейных резисторов широко используется в радиотех­нических устройствах, например в умножителях частоты.

              Рассмотрим отклик нелинейного резистора при приложении к нему входного воздействия в виде суммы двух слагаемых, изменя­ющихся по гармоническому закону и имеющих разные частоты, u= Uml cos ω1 t +  Um2 cos ω2 t.

              Пусть нелинейный резистор аппроксимируется полиномом вто­рой степени i= a0+ а1 и + а2 и2. Подставив в полином входное воз­действие, получим ток нелинейного резистора

Анализируя приведенные вычисления, отметим следующее:

             в отклике присутствует постоянная составляющая [a0 + (a2 / 2) х (Uml2 + Um22)], которой нет во входном воздействии;

             в отклике присутствуют как гармонические составляющие с частотами ω1 и ω2 составляющих входного воздействия, так и с удвоенными частотами 2 ω1 и 2 ω2;

             в отклике присутствуют гармонические составляющие, соот­ветствующие сумме ω1+ ω2 и разности ω1 - ω2 частот составляю­щих входного воздействия;

             введение в полином, аппроксимирующий нелинейный резис­тор, слагаемого третьей степени а3 u3приведет к появлению в спек­тре отклика как гармонических составляющих с утроенными час­тотами 3 ω1 и З ω2, так и гармонических составляющих с суммар­ными и разностными частотами (2 ω1 + ω2), (2 ω1 - ω2), (ω1 + 2 ω2) и (ω1 - 2 ω2). Присутствие в полиноме слагаемых более высоких по­рядков вызовет появление в отклике гармонических составляю­щих с более сложными суммарно-разностными частотами.

             Таким образом, при приложении к нелинейному резистору входного воздействия в виде суммы двух слагаемых, изменяющихся по гармоническому закону, но с разными частотами, можно по­лучить в отклике гармонические составляющие от суммы и разно­сти этих частот. Это свойство широко используется в радиотехни­ке, например при построении преобразователей частоты.

13.4. Воздействие гармонических колебаний на реактивный нелинейный элемент

              К реактивным нелинейным элементам относят нелинейную емкость и нелинейную индуктивность. На примере нелинейной емкости рассмотрим влияние нелинейности на процессы, проис­ходящие в цепи.

              Вольт-кулонная характеристика нелинейной емкости может быть описана, например, полиномом второй степени

q(u)= a0+ а1 и + а2 и2,(13.2)

где a0 = q0 — заряд емкости в рабочей точке и =U0; а1 =dq(u)/du=Cд — дифференциальная емкость в рабочей точке; а2 =(1/2)·(d2q(u)/du2)=(1/2)·(dCд/du)- скорость изменения емкости в окрестности рабочей точки.

              Известно, что ток емкости характеризует скорость изменения заряда, т.е.

                                         ic(t)=dq(u)/dt=( dq(u)/du)·(du/ dt ).                                     (13.3)

               Поэтому, подставляя (13.2) в (13.3), найдем ток нелинейной емкости

                                                                           (13.4)

               Приложим к нелинейной емкости напряжение u(t) = Umcos(ωt+φ), изменяющееся по гармоническому закону. В этом случае ток емкости согласно (13.4) будет иметь вид

ic(t) = -a1U mωsin (ωt+φ)-а2Um2ωsin[2(ωt+φ)].

               Таким образом, в спектре тока нелинейной емкости, аппрок­симированной полиномом второй степени, присутствуют две гар­монические составляющие. Первая из них имеет амплитуду a1Umω и изменяется с частотой ω, а вторая имеет амплитуду а2Um2ω и изменяется с частотой 2ω. Если в полином (13.2) ввести слагае­мое третьей степени, то спектральная составляющая тока емко­сти, изменяющаяся с частотой ω, будет иметь амплитуду a1Umω + +0,75 a3Um3 ω. При этом появится спектральная составляющая, ам­плитудой 0,75 a3Um3 ω, изменяющаяся с частотой 3 ω.

               Из сказанного очевидно следующее: