Нестационарные процессы в электрических цепях, страница 8

 напряжение и ток в момент непосредственно перед коммутацией,

 напряжение и ток в момент коммутации,

 напряжение и ток непосредственно после коммутации.

Сформулируем законы коммутации:

- ток в индуктивности скачком не изменяется.

- напряжение на емкости скачком не изменяется.

Начальными условиями называют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях непосредственно до коммутации. Различают нулевые и ненулевые начальные условия.

ПРИМЕР I. Определить начальные условия в цепи (рис. 2.2). Напряжение на емкости до коммутации было равно нулю, поэтому  - нулевые начальные условия.

Рис. 2.2

ПРИМЕР 2.

Определить начальные условия (рис. 2.3). До коммутации в цепи протекал ток по цепи: от "+" источника через ключ, индуктивность , сопротивление  к "-" источника.

          Рис. 2.3

При этом, по закону Ома ток в цепи равен: ,

а напряжение на емкости равно    

Вывод:  ненулевые начальные условия

2.2. Алгоритм составления и решения дифференциальных уравнений электрических цепей

При анализе переходных процессов классическим методом составляют уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют по законам Кирхгофа (как правило), при этом используют соотношения между токами и напряжениями для элементов цепи.

 ;

 ;

Рассмотрим пример составления дифференциального уравнения цепи, приведенной на рисунке 2.4. Согласно II закону Кирхгофа для любого момента времени в этой цепи имеем

Рис. 2.4

.

Это уравнение необходимо преобразовать так, чтобы в него входила только одна искомая функция - ток или напряжение:  или  .

                   Подставляя приведенные выше соотношения, получим:

.

Продифференцировав это уравнение по , и разделив правую и левую части равенства на , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Можно показать, что порядок дифференциального уравнения одноконтурной цепи определяется числом разнотипных накопительных элементов.

Решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде

,

где  - свободная составляющая - общее решение однородного дифференциального уравнения (без правой части),

        - принужденная составляющая, рассчитывается в установившимся режиме (t=).

Свободную составляющую  обычно находят в виде суммы экспоненциальных функций:

,

где - порядок дифференциального уравнения,

       - постоянные интегрирования,

      - корни характеристического уравнения, получаемого из дифференциального уравнения путем замены

Корни характеристического уравнения для пассивных электрических цепей могут быть либо отрицательными, либо комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью. Поэтому  при  стремится к нулю. Следовательно, решение дифференциального уравнения при  стремится к , которая может быть найдено, если задана функция , характеризующая действие источника энергии. В частных случаях, когда к цепи подключаются источники постоянного и синусоидального напряжений, составляющую  определяют методами расчета для установившегося режима.

Отыскание постоянных интегрирования А_к проводят, исходя из начальных условий.

Учитывая вышеизложенное, сформулируем АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДОВ ПРОЦЕССОВ в цепях классическим методом.

1. Для цепи, сформированной в результате коммутации, составляют дифференциальное уравнение -го порядка, в которое входит только одна искомая функция тока или напряжения. В качестве такой функции выбирают ту, которая согласно законам коммутации, скачком не изменяется.

2. Записывают характеристическое уравнение и определяют его корни:

3. Определяют начальные условия в цепи: .

4. Определяют принужденную составляющую .

5. Искомую функцию записывают в общем виде как сумму , определяют ее  производные  и путем решения полученной системы уравнений с учетом начальных условий, определяют постоянные интегрирования .

6. Записывают окончательное выражение искомой функции, определяют остальные функции тока или напряжения и строят графики их зависимости от времени.

По этому алгоритму проведем анализ переходных процессов в неразветвленных цепях первого и второго порядка.

2.3. Свободные процессы в цепях первого порядка. Длительность свободных процессов

2.3.1. Свободные процессы в  - цепи

Рис. 2.5

Свободные процессы в - цепи могут происходить при отсутствии в ней источников и ненулевых начальных условиях. Качественный анализ процессов в схеме, приведенной на рисунке, показывает, что до коммутации емкость С была заряжена до напряжения, равного э.д.с. источника , токи во всех участках цепи отсутствовали. После коммутации емкость С разряжается через сопротивление , напряжение на емкости будет уменьшаться, а соответственно и на сопротивлении, разрядный ток будет уменьшаться от величины

             до нуля.

Из приведенного выражения видно, что разрядный ток будет тем меньше, чем больше r и наоборот. Длительность переходных процессов будет тем больше, чем больше r, а также чем больше C, т.к. большая емкость содержит больший заряд.

Найдем законы изменения напряжений , и ток  путем точного анализа процессов по сформулированному ранее алгоритму.

1. Составление дифференциального уравнения.

Согласно II закону Кирхгофа для цепи, сформулированной в результате коммутации, имеем . В качестве исходной функции выберем , т.к. в результате коммутации именно напряжение на емкости скачком не изменяется

, .

2. Запишем характеристическое уравнение ,

и найдем его корень , где - постоянная времени цепи.

3. Определим начальное условие: - напряжения на емкости до коммутации равно величине э.д.с. источника

.

4. Расчет принужденной составляющей: напряжение на емкости при уменьшится до нуля

.

5. Запишем искомую функцию в общем виде как сумму

.

с учетом начальных условий, найдем постоянную интегрирования

; .

6. Окончательное выражение искомой функции имеет вид:

,

или      .

Графики ,  приведены на рисунке 2.6. Значение напряжения на емкости до коммутации равно , а ток в цепи отсутствовал, что отражено на графике. На графике видно, что за время, равное  напряжение на емкости и разрядный ток уменьшается в раз, так как   и