Исследование преобразований аддитивной смеси сигнала и шума в типовых каскадах радиоканала. Вариант 3, страница 2

                                                                               -(ω-ωо)2     -(ω+ωо)2


                       = (S2(ω) + W0 )*(½)*K2пч{ е   Δω2  + е Δω2       };         (3.7) 

Рис.6. Энергетический спектр суммарного процесса на выходе УПЧ.

3.2. Корреляционные функции на выходе УПЧ.

А) Для сигнала, по теореме Винера-Хинчина:

, c учетом (3.5) получаем:

K1(τ) = K2пчUm2cos (ω0τ)/4;

нормированная корреляционная функция:

;                                                                              (3.8)

Средняя мощность сигнала на выходе УПЧ:

Pср1 = K1(0) = 0.018 Вт ;

 
           

Рис.7. Нормированная АКФ сигнала на выходе УПЧ.

Б) Корреляционная функция шума на выходе УПЧ.

Используя преобразование Винера-Хинчина, для шума получим из (3.6):

;

;                                                              (3.9)

нормированная АКФ шума на выходе УПЧ:                                                                       

;                                                                 (3.10)             

Дисперсия шума на выходе УПЧ: σx12= Rξ1(0) = 5.078*10-6 Вт ;   

её график приведен на рис.8.

 
 


Рис.8. Нормированая АКФ шума на выходе УПЧ.

В) Суммарная АКФ на выходе УПЧ.

Используя принцип суперпозиции, справедливый для УПЧ с учетом (3.9) можно записать :

;

Нормированная АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ имеет вид:


;                             (3.11)

Рис.9. Нормированная АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ.

выражение для огибающей АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ:

 N1(τ) = ;

8

нормированная огибающая АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ:

 n1(τ) = ;                                     (3.12)

график нормированной огибающей АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ приведен на рис.10.

 
 


Рис.10. Нормированная огибающая АКФ суммарного процесса на выходе УПЧ.

3.3Значение времени корреляции и ширины энергетического спектра процесса на выходе УПЧ.

А) интервал корреляции.

Интервал корреляции определим по первому переходу АКФ через ось абсцисс

( рис.9. ):

τк1 = 6.8*10-3 с.

 Б) Эффективная ширина спектра .

Ширину энергетического спектра суммарного процесса на выходе УПЧ определим по снижению значений в 1,4 раза от максимального:

Δωэф1= 4 рад/с,  Δfэф= Δωэф/2π=0.64 Гц;                              

3.4. Отношение несущая/шум на выходе УПЧ.

По мощности:

q1 = Pср1/σx12 = 0.018/5.078*10-6= 3.54*103;                                                 (3.13)

– по амплитуде:

a1 = √2q1 = 59.50 .

    –амплитуда несущей на выходе УПЧ:

            Um1 = Umпч = 0.6 В.

4. Анализ прохождения процесса через ЧД.

1.  Каждая из реализаций случайного узкополосного процесса имеет вид почти     гармонического колебания и может быть записана в виде (1.1) :

,

где А(t) огибающая, -фаза, -частота, случайные функции. Представим колебание x(t) через квадратичные составляющие:

     

,

где ;

;

;

;

А) Закон распределения мгновенной частоты шума на выходе частотного детектора определяется распределением производной фазы :

,                                                           (4.1)

величину Δωэк можно определить из уравнения:

,                                                                                   (4.2)

где  -огибающая нормированной корреляционной функции rξ1(τ) шума, обладающего спектром , с учетом (3.10): ;

Далее определяем вторую производную в левой части уравнения (4.2):

                                              

,

;

получим:

;   

= 3.536 рад/с;

Теперь из (4.1) находим распределение производной фазы и закон распределения частоты шума на выходе ЧД:

;                                                                    (4.3)

 
 


Рис.11. Закон  распределения производной фазы на выходе ЧД.

Б) Энергетический спектр шума на выходе ЧД.

     В случае, когда Um2/σx22 >> 1, выражение для фазы можно упростить:

         ξ(t) ≈ arctg[A(t)*Sin/As(t)] ≈ A(t)*Sin/As(t);                    (4.4)

Функция A(t)*Sin обладает нормальным законом распределения и энергетическим спектром 2Wξ1(ω0 + W) [ 2, §11.6 ]. Таким образом,             энергетический спектр фазы процесса на выходе ЧД:

Wq (W) = 2Wξ1(ω0 + W)/Um12 ;

Энергетический спектр производной θ´(t) можно найти, используя правило дифференцирования сигнала [ 2, §.7 ]:

       , таким образом:

Wq´(W) = W2Wq (W) = 2W2Wξ1(ω0 + W)/Um12;

т.к.Xx2(t) = Sчд θ´(t), а также обращаясь к (3.6) можем записать:

Wξ2 (W) = Sчд2Wq´(W) = 2Sчд2W2Wξ1(ω0 + W)/Um2= Sчд2W0K2пчW2exp[-(W/Δω)2];(4.5)

        Учитывая то, что после прохождения детектора сигнал проходит через усилитель и фильтр нижних частот (УНЧ), выберем Sчд равным 0,05 (В*с)/рад, чтобы на выходе УНЧ амплитуда сигнала аходилась в рабочем диапазоне.


Рис.12.Энергетический спектр шума на выходе ЧД.

В) Дисперсия случайной фазы на выходе ЧД:

σx12= Δω2экσx12/2 = 6.348*10-5 Вт ;                                                                     (4.6)

Г) Корреляционная функция шума на выходе ЧД:

   

                                                                                                                                                                                                                                                                                        ;                                                    (4.7)

Нормированная корреляционная функция шума на выходе ЧД:


rx2(t ) = Rx2(t )/ Rx2(0);                                                                                               (4.8)

Рис.13. Нормированная корреляционная функция шума на выходе ЧД.

2. Для сигнала:

 А) Энергетический спектр сигнала на выходе ЧД представляет собой спектр гармонического колебания S2(t) =Um1cos(Ωmt) :

W2(ω)-энергетический спектр сигнала на входе УПЧ. Для его нахождения

 применим прямое преобразование Фурье: