Исследование функций. Приложение производной, страница 19

При переходе через точку x= 3 производная меняет знак “-” на “+”, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Вычислив значения функции в точках x= 2 и x= 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2)= 14 и минимум f (3)= 13.

Тот же результат можно получить, используя вторую производную. Так как f² (x) = 12x -30, то f² (2) = -6 < 0, а , то в точке x= 2 функция имеет максимум, а при x=3 - минимум.

Пример 2. Найти экстремумы функции

Найдем производную этой функции:

Стационарные точки функции x=-3 и x=3. Точка x=-1 не является стационарной, потому что при x=-1 функция не определена. Легко видеть, что при переходе через точку x=-3 производная не меняет знака, следовательно, точка x=-3 не является точкой экстремума. В точке x=3 производная меняет знак с “-” на “+”, следовательно, в этой точке минимум. Находим .

Замечание. Для определения знака производной достаточно решить неравенство .

Это неравенство решается методом интервалов: