Теорія лінійних систем. Математичне моделювання лінійних систем керування. Типові динамічні ланки, страница 13

an-1

an-3

an-5

an-7

……

an

an-2

an-4

an-6

……

0

an-1

an-3

an-5

……

0

an

an-2

an-4

……

0

0

an-1

an-3

……

0

0

an

an-2

……

Система автоматичного керування буде стійкою, якщо при виконанні необхідної умови стійкості (aі>0), головний визначник матриці Гурвіца і всі його діагональні мінори додатні.

Критерій стійкості Вишнєградського.

Використовується тільки для систем 3 – го порядку, характеристичне рівняння якої має вигляд:

a3p3+ a2p2+ a1p+a0=0.

Для стійкості систем 3 -  го порядку необхідно і достатньо, щоби при додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння добуток середніх коефіцієнтів був більше добутку крайніх, тобто: a3>0; a2>0; a1>0; a0>0; a1a2> a0a3.

Цей критерій є частковим випадком критерію стійкості Гурвіца, тому як визначник матриці Гурвіца має вигляд

            ,

то для стійкості системи потрібно щоби виконувалася вимога його додатності:

>0,

або:

,

що повністю співпадає з формулюванням критерію стійкості Вишнєградського.

Графічні критерії стійкості.

Критерій стійкості Михайлова.

З метою обґрунтування критерію, який був сформульований у 1936 році, розглянемо характеристичний поліном замкненої системи n – го порядку:

N(p) = anpn+ an-1pn-1+………….+a0.

Підставимо в цей поліном p = jω.

N(jω) = an (jω) n+ an-1 (jω) n-1+………….+a0.

Виділимо в ньому дійсну та уявну частини:

N(jω) = X(ω) +jY(ω) = |N(ω)|∙e(ω),

де дійсна частина X(ω) = a0- a2 ω2+ a2 ω2+ a4 ω4- a6 ω6…,

    а уявна частина Y(ω) = a1ω - a3 ω3+ a5 ω5- a7 ω7+…,

    модуль поліному |N(ω)| = ,

    аргумент поліному φ(ω) = arctg.

 Змінюючи параметр ω від 0 до ∞, побудуємо у комплексній площині множину векторів N(jω) і, поєднавши між собою їх кінці, отримаємо так званий годограф Михайлова.


Сформулюємо теорему: характеристичне рівняння не буде мати коренів у правій півплощині комплексної площини розміщення коренів характеристичного рівняння, якщо повний приріст аргументу ψ характеристичного поліному N(jω) при зміні ω від 0 до ∞, буде дорівнювати n∙π/2, де n – степінь полінома.

Запишемо характеристичний поліном N(jω) у вигляді:

N(jω) = an(jω – p1) (jω – p2) (jω – p3) ∙∙∙(jω – pn),

де рі – корені характеристичного рівняння.

Кожен співмножник, що позначений у дужках, являє собою комплексне число. При перемноженні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються. Тому загальний кут повороту ΔφN(ω)  вектора N(jω) при зміні ω від 0 до ∞, дорівнюватиме сумі кутів повороту окремих співмножників Δφі(ω), що записані у дужках, тобто:

ΔφN (ω)   = Δφ1(ω) + Δφ2(ω) + Δφ3(ω) + Δφ4(ω) + ∙ ∙ ∙ + Δφn(ω).

Визначимо кути повороту окремих співмножників в залежності від типу коренів.

Нехай корінь р1 є дійсне від’ємне число, р1 = -α11>0). Перший співмножник характеристичного поліному N(jω)  матиме вигляд (jω + α1), тобто це є комплексне число з модулем |jω + α1)| =  та аргументом φ1(ω) = arctg. При зміні ω від 0 до ∞ аргумент φ1(ω) зміниться від 0 до π/2, тобто приріст аргументу даного співмножника Δφ1(ω) = π/2- 0 = π/2.

Якщо припустити, що всі інші корені характеристичного рівняння теж є дійсними від’ємними числами, то загальний кут повороту вектора N(jω) дорівнюватиме Δφм(ω) = n∙π/2.

Припустимо, що корінь р2 є дійсне додатне число, р2 = α2. Другий співмножник характеристичного поліному N(jω)  матиме вигляд (jω – α2), тобто це є комплексне число з модулем |jω – α2)| =  та аргументом φ2(ω) = -arctg. У такому випадку при зміні ω від 0 до ∞ аргумент φ1(ω) зміниться від 0 до (-π/2), тобто приріст аргументу даного співмножника Δφ1(ω) = (-π/2)- 0 = - π/2.

З отриманого можна зробити висновок, що кожний дійсний від’ємний корінь збільшує загальний кут повороту вектора М(jω)  на π/2, а кожний додатний корінь зменшує його на π/2.

Розглянемо вплив комплексних спряжених коренів з від’ємною та додатною дійсними частинами. Нехай 3-й та 4-й корені є комплексними спряженими з від’ємною дійсною частиною: р3,4 = -α33, тому відповідні співмножники характеристичного поліному N(jω)  матимуть вигляд (jω +α3-jβ3)∙(jω + α3+jβ3). Модулі кожного з співмножників дорівнюють |(jω +α3-jβ3)|= =, а |(jω + α3+jβ3)| =. Аргументи відповідно: φ3(ω) = arctg,      φ4(ω) = arctg. При зміні ω від 0 до ∞ аргумент φ3(ω) зміниться від γ3 = arctg  до π/2, φ4(ω) від γ4 = arctg  до π/2, тобто загальний приріст аргументів обох векторів Δφ3,4(ω) = Δφ3(ω) + Δφ4(ω) =      = (π/2 - γ3 )+ (π/2 - γ4) = π/2 + arctg  + π/2 - arctg  = 2∙ π/2. Іншими словами, кожний з двох спряжених комплексних коренів з від’ємною дійсною частиною, як і один дійсний від’ємний корінь, збільшує загальний кут повороту вектора N(jω)  на π/2. Неважко показати, що кожний з двох спряжених комплексних коренів з додатною дійсною частиною, наприклад для   р5,6 = α55, як і один дійсний додатний корінь, зменшує загальний кут повороту вектора N(jω)  на π/2, тобто  Δφ5,6(ω) = - 2∙ π/2. Таким чином, наявність коренів з від’ємною дійсною частиною приводить до збільшення аргументу комплексного поліному N(jω) на величину π/2, а з додатною дійсною частиною до зменшення на ту ж величину π/2.

Нехай кількість коренів характеристичного рівняння у правій на півплощині дорівнює l; завдяки їм, зміна аргументу дорівнюватиме -l∙π/2, решта (n-l) коренів, що знаходяться у лівій півплощині, змінять аргумент на величину (n-l)∙π/2.

Сумарний приріст кута:

Δφм(ω) = (n-l)∙π/2 + (-l∙π/2) = n∙ π/2 - l∙π,

Тобто якщо l = 0, то Δφм(ω) = n∙ π/2, що і потрібно було доказати.

Для стійкості системи автоматичного керування необхідно і достатньо, щоби вектор комплексного поліному N(), кінець якого при зміні ω від 0 до ∞ описує криву(годограф)  Михайлова, мав кут повороту n∙ π/2.