Другие предметы \ Математическое моделирование элементов систем управления

Расчет системы с распределенными параметрами: распределение температуры по алюминиевой пластине, страница 2

Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными x и y:

(1)

где A,B,C,D- некоторые функции, зависящие в общем случае от x, y,u.

На основании того, что уравнение 1 можно поставить в квадратичную форму

по природе различают следующие типы квазилинейных уравнений:

1) гиперболический, если В²-4АС>0- его аналогом является волновое уравнение;

2) параболический, В²-4АС=0-его аналог уравнение теплопроводности;

3) эллиптический, если В²-4АС<0- аналог уравнение Пуассона или Лапласа.

3 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ЗАДАНИЕ ВХОДНОГО И ВЫХОДНОГО ПАРАМЕТРОВ, НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Так как данное дифференциальное уравнение содержит первую производную по времени, то оно относится к параболическому типу. Также это уравнение является неоднородным.

Выходным параметром Q(x,y,t) в данной системе является температура, распределяющаяся по пластине.

g1(y,t)

Входным воздействием f(x,y,t) является поток тепла от нагревательного элемента.

y₁₌₁₀

Рисунок 1-Геометрические размеры пластины.

Аналитическая форма представлена на рисунке 1, а графическая форма записи входного воздействия на рисунке 2.

Рисунок 2- Вид входного воздействия

Граничные условия представлены на рисунке 3.

g1 (y,t):=sin(0.5t)+20

Рисунок 3- Граничные условия.

g2(x,t):=20

Зададим размерность входного возмущения.

где F- количество теплоты (теплой поток)

V-объем.

– удельная теплоемкость алюминия.

- плотность алюминия.

-коэффициент температуропроводности,

где -коэффициент теплопроводности алюминия.

Тогда а² =0.884 м²/с.

Пусть x₁ = 10-длина пластины, y₁ = 20-ширина пластины.

Начальные условия:

, что соответствует комнатной температуре пластины до начала действия нагревательного элемента.

Граничные условия:

, что соответствует изменение температуры на x₁ ребре пластины согласно рисунку 1.

- что соответствует изменение температуры на y₁ ребре пластины согласно рисунку 1

С учетом выше описанных условий стандартизирующая функция примет следующий вид:

4 РАСЧЕТ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Для определения вида статической характеристики воспользуемся функцией Грина:

Для этого первоначально произведем расчет выходной вылечены по формуле:

Воспользуемся свойствами – функции и для облегчения расчета разобьем сложный интеграл на более простые получим:

Сложим полученные интегралы и построим график зависимостей статической характеристики выходной величины при фиксированных значениях времени:

Рисунок -4. Статическая характеристика выходного сигнала: а - при фиксированном значении времени; б - при фиксированном значении координаты

5. РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.

ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Найдем изображение по Лапласу стандартизирующей функции.

Выделим в явном виде компоненту входной координаты.

Выражение для имеет следующий вид:

Интегральная передаточная функция определяется выражением

Проведя интегрирование и все преобразования, получим следующее выражение для интегральной передаточной функции:

Для построения ЛАЧХ в полученной интегральной передаточной функции заменим р на jω и затем воспользуемся формулой:

Выполним расчет и построение ЛАЧХ с помощью программы Matchcad 2000, задав произвольно необходимые параметры:

Рисунок 5- ЛАЧХ.

6.МОДЕЛИРОВАНИЕ PDE

Начертим изображение пластины в графическом окне PDETool таким образом, чтобы стороны были равны x₁=10 и y₁=20, где x₁-размер по оси х, y₁-размер по оси y.

Будем задавать граничные условия Дирихле u=0 на левой и правой сторонах. На двух других сторонах примем условие Неймана

Укажем, что задача описывается уравнением параболического типа, и введем соответствующие коэффициенты:

Рисунок 6 –Ввод параметров дифференциального уравнения

Зададим параметры решения и начальные условия – исходная температура пластины при t=20.

Для этого воспользуемся диалоговым окном «Solve Parametrs». Вначале выберем шаг и верхний предел решения по времени. Для параметра Time введем стороку «0:0.1:10».Таким образом, расчет выполнятся по времени в пределах t=0…10 с шагом

Начальные условия также записываются с учетом особенностей языка пакета MATLAB.

Начальная температура указывается строкой 20.

Относительную и абсолютную погрешность примем равными 0,01и 0,001, сохранив установленные по умолчанию значения.

Рисунок 7 – Ввод параметров решения

Сформулируем сетку и настроим графические параметры решения с помощью диалогового решения с помощью окна «Plot Selection» представленную на рисунке 8:

Рисунок 8- Параметры анимации.

Завершающий этап – запуск решения задачи. После окончания вычислений в графическом окне интерфейса PDETool отображается изменение температуры пластины в момент пластины в момент времени t=10, а в дополнительном окне – анимация изменения температуры пластины, представленный на рисунке 10 .

Рисунок 9- Анимация изменения температуры пластины

Изменяя граничные условия и параметры уравнения посмотреть, как изменяется выходная величина задачи на рисунке 10.

Рисунок 10. Модуль градиента выходной величины

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был произведен расчет системы с распределенными параметрами: распределение температуры по алюминиевой пластине. В ходе расчетов было выявлено ниже следующее.

Система устойчива, имеет высокие качественные характеристики и достаточно высокий коэффициент усиления. Наша система не требует дальнейшей доработки. Это означает, что мы правильно подобрали начальные, граничные условия и дифференциальное уравнение для описания данной системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов.-МН.: ДизайнПРО, 2004.

2. Тетрадь с лекциями по дисциплине «Сплошные среды и элементы с распределенными параметрами».

3. Арсенин В. Я. Математическая физика. – М. Наука, 1966.

1 2

Скачать файл