Построение частотных характеристик методом типовых звеньев

Задание 1. Построение частотных характеристик методом типовых звеньев.

Дано: .

Решение:

Коэффициент передачи САУ: ,86.

Найдем корни полиномов числителя и знаменателя передаточной функции, для этого воспользуемся программой MatLab.

w=tf([1250 1250 20200 4000],[967.68 1330.56 725.76 28])

 Transfer function:

1250 s^3 + 1250 s^2 + 20200 s + 4000

------------------------------------

967.7 s^3 + 1331 s^2 + 725.8 s + 28

zero(w)

ans =

  -0.4000 + 3.9799i

  -0.4000 - 3.9799i

  -0.2000         

pole(w)

ans =

  -0.6667 + 0.5000i

  -0.6667 - 0.5000i

  -0.0417

Получаем: , ,

, .

В соответствии с видом полученных корней разобьем передаточную функцию САУ на типовые звенья. Так как полином числителя передаточной функции имеет один действительный отрицательный корень, и пару комплексно-сопряженных корней с отрицательными вещественными частями, то его можно представить в виде произведения двух типовых звеньев: одного идеально дифференцирующего звена первого порядка с постоянной времени , и одного реально дифференцирующего звена второго порядка с постоянной времени , декрементом затухания .

Полином знаменателя передаточной функции имеет один действительный отрицательный корень, и пару комплексно-сопряженных корней с отрицательными вещественными частями, то его можно представить в виде произведения двух типовых звеньев: одного апериодического звена с постоянной времени , и одного колебательного звена с постоянной времени , декрементом затухания .

Таким образом, передаточная функция САУ имеет вид:

На частоте  строим опорную точку с ординатой

, а на ось частот наносим частоты сопряжения асимптотических ЛАХ звеньев:

,

,

,

.

Так как передаточная функция не содержит ни одно интегрирующего звена и ни одного идеально усилительного звена то, через опорную точку проводим низкочастотную асимптоту ЛАХ с наклоном 0 дБ/дек.

Наименьшая частота сопряжения  принадлежит апериодическому звену, поэтому на этой частоте изменяем наклон низкочастотной асимптоты на величину наклона наклонной асимптоты апериодического звена -20 дБ/дек. Асимптоту с измененным наклоном проводим до следующей (по мере возрастания) частоте сопряжения (ω_с1). Она принадлежит: идеально дифференцирующему звену первого порядка, поэтому на этой частоте наклон асимптоты изменяем на +20 дБ/дек. Асимптоту с измененным наклоном проводим до следующей (по мере возрастания) частоте сопряжения (ω_с4). Она принадлежит колебательному звену, поэтому на этой частоте наклон асимптоты изменяем на -40 дБ/дек. Затем продолжаем асимптоту до последней частоты сопряжения (ω_с2). Эта частота принадлежит реально дифференцирующему звену второго порядка, соответственно величину наклона асимптоты изменяем на +40 дБ/дек.

Строим график ЛФХ звеньев. Суммируем алгебраические ординаты точек этих графиков, лежащих на одной частоте, получаем график ЛФХ звеньев.   - график апериодического звена,  - график идеально дифференцирующего звена первого порядка,  - график колебательного звена,  - график дифференцирующего звена второго порядка.

Задание 1. Решение с помощью MatLab.

w=tf([1250 1250 20200 4000],[967.68 1330.56 725.76 28])

 Transfer function:

1250 s^3 + 1250 s^2 + 20200 s + 4000

------------------------------------

967.7 s^3 + 1331 s^2 + 725.8 s + 28

zero(w)

ans =

  -0.4000 + 3.9799i

  -0.4000 - 3.9799i

  -0.2000         

pole(w)

ans =

  -0.6667 + 0.5000i

  -0.6667 - 0.5000i

  -0.0417         

zpk([-0.2000 -0.4000+3.9799i -0.4000-3.9799i],[-0.0417 -0.6667+0.5000i -0.6667-0.5000i],142.86)

 Zero/pole/gain:

 142.86 (s+0.2) (s^2 + 0.8s + 16)

----------------------------------

(s+0.0417) (s^2 + 1.333s + 0.6945)

 bode(w), grid

Задание 2. Построение частотных характеристик методом типовых звеньев.

Дано: .

Решение:

Коэффициент передачи САУ: .

Найдем корни полиномов числителя и знаменателя передаточной функции, для этого воспользуемся программой MatLab.

w=tf([40.5 406.8 20 20],[240 333.6 44.4 3 0])

Transfer function:

  40.5 s^3 + 406.8 s^2 + 20 s + 20

------------------------------------

240 s^4 + 333.6 s^3 + 44.4 s^2 + 3 s

zero(w)

ans =

 -10.0000         

  -0.0222 + 0.2211i

  -0.0222 - 0.2211i

pole(w)

ans =

       0         

  -1.2500         

  -0.0700 + 0.0714i

  -0.0700 - 0.0714i

Получаем: ,  , , , .

В соответствии с видом полученных корней разобьем передаточную функцию САУ на типовые звенья. Так как полином числителя передаточной функции имеет один действительный отрицательный корень, и пару комплексно-сопряженных корней с отрицательными вещественными частями, то его можно представить в виде произведения двух типовых звеньев: одного идеально дифференцирующего звена первого порядка с постоянной времени , и одного реально дифференцирующего звена второго порядка с постоянной времени , декрементом затухания .

Полином знаменателя передаточной функции имеет один нулевой корень, один действительный отрицательный корень, и пару комплексно-сопряженных корней с отрицательными вещественными частями, то его можно представить в виде произведения трех типовых звеньев: одно интегрирующего звена, одного апериодического звена с постоянной времени , и одного колебательного звена с постоянной времени , декрементом затухания .

Таким образом, передаточная функция САУ имеет вид:

На частоте  строим опорную точку с ординатой

, а на ось частот наносим частоты сопряжения асимптотических ЛАХ звеньев:

,

,

,

.

Так как передаточная функция содержит одно интегрирующее звено то, через опорную точку с ординатой 20lgk=20lg6,67=16,5 дБ, проводим низкочастотную асимптоту ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек.

Наименьшая частота сопряжения  принадлежит колебательному звену, поэтому на этой частоте изменяем наклон низкочастотной асимптоты на величину наклона наклонной асимптоты колебательного звена -40 дБ/дек. Асимптоту с измененным наклоном проводим до следующей (по мере возрастания) частоте сопряжения (ω_с2). Она принадлежит дифференцирующему звену второго порядка, поэтому на этой частоте наклон асимптоты изменяем на +40 дБ/дек. Асимптоту с измененным наклоном проводим до следующей (по мере возрастания) частоте сопряжения (ω_с3). Она принадлежит апериодическому звену, поэтому на этой частоте наклон асимптоты изменяем на -20 дБ/дек. Затем продолжаем асимптоту до последней частоты сопряжения (ω_с1). Эта частота принадлежит дифференцирующему звену первого порядка, соответственно величину наклона асимптоты изменяем на +20 дБ/дек.

Строим график ЛФХ звеньев. Суммируем алгебраические ординаты точек этих графиков, лежащих на одной частоте, получаем график ЛФХ звеньев.   - график колебательного звена,  – график дифференцирующего звена второго порядка  ,  - график апериодического звена,  - график идеально дифференцирующего звена первого порядка.

Задание 2. Решение с помощью MatLab.

w=tf([40.5 406.8 20 20],[240 333.6 44.4 3 0])

Transfer function:

  40.5 s^3 + 406.8 s^2 + 20 s + 20

------------------------------------

240 s^4 + 333.6 s^3 + 44.4 s^2 + 3 s

zero(w)

ans =

 -10.0000         

  -0.0222 + 0.2211i

  -0.0222 - 0.2211i

pole(w)

ans =

       0         

  -1.2500         

  -0.0700 + 0.0714i

  -0.0700 - 0.0714i

 zpk([-10 -0.0222+0.2211i -0.0222-0.2211i],[0 -1.25 -0.07+0.0714i -0.07-0.0714i],6.67)

 Zero/pole/gain:

6.67 (s+10) (s^2 + 0.0444s + 0.04938)

-------------------------------------

 s (s+1.25) (s^2 + 0.14s + 0.009998)

 bode(w),grid