Построение математической модели объекта управления в пространстве состояний

1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

1.1 Построение математической модели для электрической схемы

Рассмотрим построение математической модели в пространстве состояний для объекта управления, представленного в виде электрической схемы, изображенной на рисунке 1.

L2

Рисунок 1 ­- Эквивалентная схема объекта управления

№ варианта	Параметры элементов эквивалентной схемы объекта управления										Выходная переменная
	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	L1, Гн	L2, Гн	L3, Гн	С1, мкФ	С2, мкФ
10	328	395	118	215	-	24	24	-	-	19605	i1

Таблица 1 - Параметры элементов схемы объекта управления

Вычисления производятся в системе MathCAD.

В третьем уравнении есть интеграл, поэтому дифференцируем его:

= 0                                           (4)

В уравнениях 1, 2 и 4 введем фиктивные переменные Х₁, Х₂ и Х₃, но с производными на один порядок ниже:

 =                                                            (5)

 =                                                                                           (6)

 =                                                                                             (7)

Находим производные от фиктивных переменных. Из (4) следует:

                                    (8)

Из (5) следует:

                                      (9)

Из (2) следует:

                                                        (10)

В данных уравнениях имеется 6 переменных: i₁, i₂, i₃, X₁, X₂, X₃. Необходимо уйти от i₁, i₂, i₃,  выразив их через X₁, X₂, X₃.

                                                                                             (6*)

                                                                                             (7*)

Подставляем в (1) выражения для токов (6*), (7*) и выражаем i₁:

 

                                     (11)

Выражаем через X₁, X₂, X₃ их производные. Из (8) следует:

                                                                                     (12)

Подставляем значения токов в (9) и (10):

(13)

       (14)

Теперь имеем уравнения, выраженные в зависимости от X₁, X₂, X₃ и е(t). Запишем математическую модель данной системы в нормальной фор­ме Коши:

                                                                                 (15)

 Уравнение (15) – это уравнение наблюдения для входной величины, где входное напряжение U равно ЭДС

 U = |e|

Уравнение выходной величины объекта:

                                                                         (16)

Основываясь на уравнениях (11), (12), (13) и (14), получаем запись уравнения Коши в матричной форме.

Подставим исходные данные и получим математическую модель в пространстве состояний:

                             (17)

                             (18)

1.2 Построение графа системы и нахождение передаточной функции

Рисунок 2 ­– Граф системы

Рисунок 3 – Структурная схема системы

1.3 Нахождение передаточной функции схемы с использованием формулы

Мейсона

Формула Мейсона имеет вид:

                                                                                (19)

,

где       k - количество возможных прямых путей от входа к выходу;

∆ - определитель графа;

Р_k - коэффициент передачи k-ого пути от входа к выходу;

∆_к - определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути;

- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

-сумма всех возможных произведений из 2-ух не касающихся

 контуров;

- сумма всех возможных комбинаций из 3-ех не касающихся

контуров.

Определим и запишем уравнения всех путей графа от входа к выходу:

Найдем уравнения замкнутых контуров:

                          

Запишем выражение для определителя графа:

Определители путей:

                         

Передаточная функция графа и всей системы:

                                    (20)

2 ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

С помощью обратного преобразования Лапласа найдем переходную функцию по уравнению передаточной функции (20):

     (21)

Рисунок 4 ­– Переходный процесс системы

Определим прямые оценки качества. Установившееся значение тока h_уст равно 2,1∙10^-3 А. Тогда 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующей величине:

Величина перерегулирования выходного параметра при переходном процессе:

h_max = 3,5∙10^-3 А

                         (22)

Время переходного процесса регулирования температуры t_п=19,6 с.

Время нарастания регулируемой величины (время достижения максимального значения температуры при переходном процессе) t_н=0,45 c.

Время первого согласования (время, когда регулируемая величина  в первый раз достигает своего установившегося значения) t₁=0,04 c.

Колебательность системы n определяет число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса и равно единице.

Найдем импульсную функцию:

 (23)

Рисунок 5 – Импульсный переходный процесс системы

Найдем частотные характеристики.

Амплитудно-частотную характеристику определяем по формуле:

                                                             (24)

Рисунок 6 – Амплитудно-частотная характеристика системы

Определим показатели качества системы по амплитудно-частотной характеристике. Резонансная частота (частота при которой АЧХ достигает своего максимального значения):

ω_р = 1,14 рад/с

Показатель колебательности переходного процесса:

μ = А_max / A(0) = 3,58∙10^-3/2,18∙10^-3=1,64

Полоса пропускания (диапазон частот, в пределах которых система пропускает входной сигнал без существенных искажений) определяется при амплитуде, равной:

A(ω_пр) = 0,707∙A_max = 0,707∙3,58∙10^-3 = 2,53∙10^-3

По графику видно, что ширина полосы пропускания равна диапазону частот:

ω_пр = 0,07… 12,56 рад/с

Фазо-частотная характеристика имеет вид:

                                                                        (25)

Рисунок 7 – Фазо-частотная характеристика системы

3 СИНТЕЗ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

3.1 Определение передаточной функции формирующего фильтра

По заданной корреляционной функции K_x(τ) в программе Mathcad определяем спектральную плотность S_x(ω) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

    (26)

                                     (27)

Определим спектральную плотность:

                                                      (28)

                (29)