Особенности применения типовых методов синтеза оптимальных управлений в задачах векторной оптимизации объектов

Лекция №13

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ТИПОВЫХ МЕТОДОВ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ

Задачи векторной оптимизации объектов решают типовыми мето­дами, рассмотренными в предыдущих параграфах, если возможно ран­жирование частных критериев. В тех случаях, когда частные критерии строго ранжированы по значимости, имеет место лексико-графическая задача, которую решают типовыми методами синтеза опти­мальных управлений, применяя последовательно частные критерии. В тех случаях, когда нельзя четко указать степень важности каждого частного критерия, их располагают и нумеруют в порядке относитель­ной значимости. Такие задачи решают также типовыми методами син­теза оптимальных управлений, используя метод последовательных уступок.

Если удается каким-либо способом свести все частные критерии в один обобщенный функционал скалярного критерия, то задачи син­теза оптимальных управлений решают в один этап обычными методами без каких-либо существенных особенностей.

Один из методов преобразования векторных критериев к обобщен­ному функционалу основан на введении понятия нормы в евклидово пространство векторного критерия и определении в нем «идеальной» точки. При этом получается Парето – оптимальное управление, обес­печивающее максимальную близость частных критериев качества к своим наилучшим значениям. В данном случае не требуется выбирать весовые коэффициенты обобщенных функционалов [см. (1.19)], что особенно затруднительно при решении задач оптимизации больших систем.

Векторная оптимизация статики объектов. Рассмотрим задачи век­торной оптимизации статики двух типов: при векторном критерии и при обобщенном функционале, соответствующем векторному кри­терию.

1.  Для линейных объектов с линейными частными критериями
в виде линейных форм типа (1.32) решение может быть выполнено,
например, модифицированным симплекс-методом при последовательном применении частных критериев.

2.  Задачи линейного программирования могут быть решены методом «идеальной» точки по обобщенному функционалу типа евклидовой нормы в следующей постановке.

Заданы уравнения математической модели статики объекта типа (1.29) или (3.15), а также частные критерии в виде линейных форм типа (1.32). Требуется определить управления , которые обеспечивают по возможности наибольшее (или наименьшее) значение всех частных критериев одновременно.

Сначала решим l задач по каждому частному критерию  обычным методом, в результате чего найдем векторы управлений  и соответствующие им значения частных критериев . Эти результаты используем для составления обобщенного функционала в виде квадрата евклидовой нормы:

если переменные уравнений объекта и функционалы приведены к безразмерной форме

;              (3.213a)

если переменные уравнений объекта и функционалы не приведены к безразмерной форме

;          (3.213б)

Таким образом, задача векторной оптимизации сведена к задаче минимизации обобщенного функционала (3.213а) или (3.213б) с уче­том функциональных ограничений в виде уравнений статики объекта:

                               (3.214)

Так как функционал R(U) является квадратичным, задача (3.214) представляет собой задачу нелинейного программирования, которую можно решить соответствующими методами нелинейного программи­рования (см. § 3.2). Решение дает вектор оптимальных управлений U⁰, обеспечивающий минимальное отклонение частных критериев от их значений, полученных при раздельном решении задач оптимизации по каждому частному критерию.

Аналогично можно решать задачи векторной оптимизации статики нелинейных объектов.

Векторная оптимизация динамики объектов. Задачи векторной оп­тимизации динамики объектов бывают также двух типов: при вектор­ном критерии и обобщенном функционале, соответствующем вектор­ному критерию.

Пусть сформулирована задача векторной оптимизации.

Задан объект, описываемый уравнениями состояния

                                                (3.215)

при заданных фиксированных начальных значениях  и нефиксированных конечных значениях вектора ;вектор-функция состоит из п непрерывных и непрерывно дифференцируемых по Х и u функций ; частные критерии представлены функционалами вида

                       (3.216)

где функции  непрерывны и дважды непрерывно дифферен­цируемы по Х и u.

Необходимо определить оптимальное управление и°(t) из условия минимума функционалов (3.216) частных критериев.

1. Данная задача является лексико-графической, если частные критерии строго ранжированы, и может быть записана как совокуп­ность последовательных задач оптимизации по частным критериям:

 (3.217)

где – экстремальные значения частных критериев, определен­ные на предыдущих этапах.

При решении задач (3.217) по принципу максимума введем допол­нительные координаты , определяемые дифференциальными уравнениями и начальными значениями:

(3.218)

Частные критерии заменим значениями дополнительных перемен­ных в конечный момент времени т. е. оптимизацию проведем последовательно по частным критериям .

Задача синтеза оптимального управления по первому частному критерию  на основании (3.217) формируется как задача Майера следующим образом:

    (3.219)

Необходимое условие оптимальности по первому частному крите­рию в задаче (3.219) в соответствии с принципом максимума имеет вид [11]

         (3.220)

где

Вспомогательные функции  определяются уравнениями

               (З.221)

при граничных значениях

Вспомогательные функции находят из системы канонических уравнений (3.215) и (3.221) с учетом значений и .

2. Если частные критерии (3.216) упорядочены по относительной значимости, то задача векторной оптимизации решается методом уступок и может быть сформулирована следующим образом:

(3.228)

Решение задачи (3.228) дает оптимальное управление , ко­торое обеспечивает значения частных критериев, отличающихся от мак­симальных на величины соответствующих уступок , кроме послед­него.

При решении задач векторной оптимизации методом уступок ис­пользуют типовые методы синтеза оптимальных управлений.

3.  Задачи векторной оптимизации динамики объектов методом определения «идеальной» точки в векторном пространстве частных кри­териев качества решают следующим способом: сначала решают частные задачи оптимизации раздельно по каждому частному критерию и оп­ределяют вектор управления u*(t); затем составляют обобщенный функционал R(u) типа (3.213а) или (3.213б), после чего решают полу­ченную задачу оптимизации типовыми методами минимизации R(и) с учетом уравнений объекта (3.215) и ограничений .