Основы математического аппарата и общие принципы построения импульсных систем

Страницы работы

Содержание работы

2. Основы математического аппарата и общие принципы построения импульсных систем

2.1. Свойства импульсного элемента

2.1.1. Общие положения. 

Амплтудно-импульсный элемент реагирует на равноотстоящие друг от друга значения входного сигнала f(t) при t=nT. Его выходной сигнал fp*(t) является последовательностью импульсов определенной формы, амплитуда которых пропорциональна значениям f(nT) (см. рис.2 .1).

Рис. 2.1. Входной и выходной сигналы амплитудно-импульсного элемента.

Другими словами, выход амплитудно-импульсного элемента (квантователя) fp*(t) представляет последовательность импульсов конечной длительности p, амплитуда которых промодулирована входным сигналом f(t) (см. рис. 2.2 и рис.2.3).

Рис. 2.2. Схема квантователя с постоянным периодом и конечным временем выборки

Рис. 2.3. Входной и выходной сигналы квантователя с постоянным периодом

Заметим, что в реальном импульсном элементе форма импульса квантователя может быть произвольной, не обязательно прямоугольной.

От реального импульсного элемента удобно перейти к идеальному элементу. При этом реальный импульсный элемент может быть представлен как последовательное соединение идеального импульсного элемента и формирующей цепи, реакция которой  на импульсное воздействие равна w(t). Частотная характеристика формирующей цепи и изображение её выходного сигнала обозначим соответственно W(jω) и W(s).

Рис. 2.4. Представление реального импульсного элемента как соединения идеального импульсного элемента и формирующей цепи.

2.1.2. Характеристики формирующих цепей. 

Рассмотрим в качестве примеров характеристики формирующих цепей с прямоугольными и треугольными выходными импульсами.

Для импульсов прямоугольной формы получаем:

w(t) = kф, 0 [ t < T,

w(t) = 0,   T [ t < :.

подставим s = jw

Для импульсов треугольной формы аналогично получим следующие соотношения:

,

s = jw

Рис. 2.5. Характеристики формирующих цепей: а) формирующая цепь с прямоугольными импульсами; б) формирующая цепь с треугольными импульсами.

2.1.3. Свойства идеального импульсного элемента. 

Идеальный импульсный элемент можно представить как квантователь с бесконечно малым временем выборки p, тогда выходной сигнал такого квантователя fp*(t) равен:

fp*(t) = f(nT) при t = nT ;

            fp*(t) = 0 при t ¹ 0.                                                                            (2.1)

Последнее можно представить как модуляцию несущего сигнала вида

                                                                                     (2.2)

входным сигналом f(t),

где δТ(t) представляет собой последовательность единичных импульсов (площадь которых равна единице), равноотстоящих по времени, начинающихся при минус бесконечности и продолжающихся до плюс бесконечности, как показано на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Последовательность единичных импульсов

Выходной сигнал f*(t) идеального квантователя можно записать в форме

                                                                 (2.3)

Предполагая, что квантование начинается с момента времени t = 0, можно получить выражение для преобразования Лапласа выходного сигнала квантователя.

                                                  (2.4)

В последнем выражении учитывается , что δ-функция всюду равна нулю, кроме точки t = kT. Кроме того, учитывая, что

L{ δТ(t-kT)} = e-pkT

получаем:

                                                                                            (2.5)

Последнее выражение называется также дискретным преобразованием Лапласа или D-преобразованием, поскольку в нём вместо непрерывных функций f(t) фигурируют решётчатые функции f(kT).

Подставим в (2.4) выражение δТ(t) через ряд Фурье; получим

На основании свойств преобразования Лапласа

L{f(t)·ejkω0t} = F(s – jkω0).

Таким образом,

                                                                             (2.6)

Соотношение (2.6) устанавливает связь между изображениями непрерывной F(s) и решётчатой функций F*(s). Операцию нахождения F*(s) по изображению F(s) называют D-преобразованием.

Выражение (2.6) имеет вид бесконечного ряда, откуда следует, что выходная величина импульсного элемента содержит высокочастотные составляющие.

Предположим, что частотный спектр входной величины имеет вид, показанный на рис. 2.7а. В этом случае спектр выходного сигнала импульсного элемента содержит в себе спектр входной величины, а также составляющие других частот, как показано на рис. 2.7б. Этот рисунок соответствует случаю, когда частота самой высокочастотной составляющей входной величины меньше половины частоты квантования

ω £ ω0/2.        

Рис. 2.7. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя: а – амплитудный спектр непрерывного входного сигнала f(t); б – амплитудный спектр выходного сигнала (ω0 > 2 ωc).

Очевидно, что при таком выборе частоты квантования ω0 возможно (чисто теоретически)восстановить входной сигнал без всякого искажения. Если же частота повторения меньше удвоенной частоты самой высокочастотной составляющей входной величины, то выходная величина импульсного элемента искажается по отношению к входному сигналу (см. рис. 2.8).

                        а)                                                                                           б)

Рис. 2.8. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя: а – амплитудный спектр непрерывного входного сигнала f(t); б – амплитудный спектр выходного сигнала (ω0 < 2 ωc).

Соответствующие временные зависимости входных и выходных сигналов импульсного элемента показаны на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Входные и выходные сигналы идеального импульсного элемента:

а – входной, б – выходной сигналы при ω0 > 2 ωc; в – входной, г – выходной сигналы при ω0 < 2 ωc.

2.1.4. Теорема В.А.Котельникова. 

В 1933 г. была опубликована работа В.А.Котельникова «О пропускной способности эфира и проволоки электросвязи» Маиериалы радиосекции к I Всесоюзному съезду по реконструкции связи, Всесоюзный энергетический комитет. В работе был сформулирован следующий фундаментальный вывод:

Для восстановления входной величины частота повторения должна быть больше или равна частоте самой высокочастотной составляющей входной величины:

ω0 / 2 ωc.                                                        (2.7)

Это условие известно также как «Импульсная теорема», «теорема Котельникова – Шеннона».

Похожие материалы

Информация о работе