Особливі прийоми обчислення невласних інтегралів

Страницы работы

Содержание работы

Державний вищий навчальний заклад

«Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника»

Кафедра математичного і функціонального аналізу

Курсова робота

на тему

«Особливі прийоми обчислення невласних інтегралів»

                                                                     Студента IV курсу, групи М-42

Напряму підготовки «Математика»

                                                               

                                                     Керівник:

                                                                           Національна шкала:____________

                                                                       Університетська шкала:_______

                                                 Оцінка ECTS:____

м. Івано-Франківськ – 2016 рік

Зміст

Вступ

1.  Деякі чудові інтеграли.

2.  Обчислення невласних інтегралів за допомогою інтегральних сум.                                                                 

3. Інтеграли Фруллани.

4. Інтеграли від раціональних функцій.

5. Приклади.

Висновки.                                                                

Список використаної літератури.


Вступ

Невласні інтеграли є узагальненням визначених інтегралів на випадок нескінчених проміжків інтегрування та необмежених функцій.

Дана курсова робота містить основні відомості як обчислювати невласні інтеграли за допомогою інтегральних сум, інтеграли Фруллани, інтеграли від раціональних функцій, та деякі чудові інтеграли.


1. Деякі чудові інтеграли.

Почнемо з обчислення деяких важливих інтегралів за допомогою штучних прийомів. 1 °. Інтеграл Ейлера (L. Euler):

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image1.gif

В його існування ми вже переконалися. Обчислення інтеграла Ейлера засновано на використанні заміни змінної. Маємо, вважаючи

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image2.gif

Підставляючи в останньому інтегралі  привидем його до виду  так що, звичайно, для визначення J отримуємо рівняння

До цього ж інтеграла, з точністю до знака, наводяться і власні інтеграли

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image4.gif

2 °. Звернемося до вирахування інтеграла Ейлера-Пуассона :

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image5.gif

зустрічається в теорії ймовірностей. З цією метою попередньо встановимо деякі нерівності.

Звичайними в диференціальному численні методами неважко встановити, що функція  досягає свого найбільшого значення 1 при  Отже, для буде

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image6.gif

Вважаючи тут  ми отримаємо

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image7.gif

Звідки

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image8.gif

Обмеживши в першому з цих нерівностей зміна х проміжком (0,1) (так що ) а в другому вважаючи x будь-яким, піднесемо всі ці вирази в ступінь з будь-яким натуральним показником це дає нам

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image9.gif

Інтегруючи першу нерівністьв проміжку від 0 до 1, а другу - від 0 до +

Отримаємо

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image10.gif

але

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image11.gif

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image12.gif

(Ми скористалися тут відомими виразами для   

Таким чином, невідоме нам значення К може бути укладено між наступними двома виразами:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image13.gif

так що, зводячи в квадрат і перетворюючи, отримаємо

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image14.gif

З формули Валліса :

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image15.gif

легко побачити тепер, що обидва крайніх вирази при  прямують до однієї і тієї ж границі  отже,

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image16.gif

3 °. Розглянемо інтеграл

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image17.gif

Ми знаємо, що він сходиться . Уявімо інтеграл у вигляді суми ряду

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image18.gif

Поклавши  або  і вдавшись, відповідно, до підстановки  або  матимемо:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image19.gif

і

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image20.gif

Звідси

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image21.gif

Так як ряд

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image22.gif

в проміжку  сходиться рівномірно, fбо мажорується збіжним рядом  його можна інтегрувати почленно.

Це дає нам право написати вираз для I у вигляді:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image23.gif

Але вираз в квадратних дужках є розкладання на прості дроби функції. Таким чином, остаточно,

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_228.files/image24.gif

Наведений витончений висновок належить Лобачевському, який першим звернув увагу на нестрогість тих прийомів, за допомогою яких цей важливий інтеграл обчислювався раніше.

2.Обчислення невласних інтегралів за допомогою інтегральних сум

Якщо функція  в проміжку  обмежена, то довільними інтегральними (рімановими) сумами користуватися для обчислення її інтегралів в цьому проміжку, зрозуміло, не можна. Однак завжди можна так вибирати ці суми, щоб вони - при дробленні проміжку - прагнули до значення невласного інтеграла. Ми встановимо це для найпростішого випадку монотонної функції.

Отже, нехай функція  в проміжку  додатня, монотонно спадає і при  прямує  до  в той же час, нехай для неї існує невласний інтеграл від 0 до . Розділивши проміжок  на n рівних частин, матимемо

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image1.gif

тим більше

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image2.gif

У той же час, очевидно,

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image3.gif

так що, за сукупністю,

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image4.gif

Так як останній інтеграл при  прямує до нуля, то остаточно

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image5.gif

У разі додатньої зростаючої функції  прямує до  при  виходить аналогічно

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image6.gif

Нарешті, змінюючи знак  легко отримати такі ж формули і для монотонної негативною функції.

Розглянемо прикладb. 1) Для обчислення інтеграла  (з особливою точкою 0) маємо:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image7.gif

Так як , то попередня границя дорівнює - 1; таке, насправді, і є значення запропонованого інтеграла.

2) В якості другого прикладу візьмемо більш складний інтеграл:

В цьому випадку

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image8.gif

Бажаючи отримати просте вираження для останнього , розглянемо цілий многочлен, що виходить від ділення  на  і розкладемо його на лінійні множники, збираючи разом множники, які відповідають спряженим кореням. Ми отримаємо (при будь-якому матеріальному z, відмінному )

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image9.gif

При звідси знайдемо:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image10.gif

так що,

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image11.gif

Тому шуканий інтеграл виявляється рівним:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_229.files/image12.gif

3.Інтеграли Фруллани

Розглянемо питання про існування і обчисленні одного приватного виду невласних інтегралів, зазвичай званих інтегралами Фруллані (G. Froullani):

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image1.gif

 Щодо функції  зробимо наступні припущення: 1 °  визначена і неперервна для  і 2 ° існує кінцевий межа

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image2.gif

З 1 ° ясно, що існує (при  )інтеграл

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image3.gif

Запропонований же інтеграл визначається рівністю

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image4.gif

Застосовуючи до останніх двох интегралам порізно узагальнену теорему про середнє значення, отримаємо (де)

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image5.gif

і, аналогічно,

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image6.gif

Так як, очевидно,  (при ) а  (при ) то звідси

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image7.gif

Приклади. 1) У випадку інтеграла

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image8.gif

маємо:

http://edu.alnam.ru/archive/arch.php?path=../htm/book_f_math2/files.book&file=f_math2_231.files/image9.gif

так що значення інтеграла буде

Похожие материалы

Информация о работе