Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты. Вычет аналитической функции в особой точке

Страницы работы

19 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3171.gif Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция f(z) имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция f(z)представлялась в виде fz) = (z − a) k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0.   Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции f(z), т.е. f(a) = f ′(a) = f ″(a) = ... = f (k−1)(a) = 0, и f (k)(a) ≠ 0. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3182.gif, где http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3183.gif - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что и у ряда для f(z)) функция, http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3184.gif Достаточность. Пусть fz) = (z − a) k·φ(z), где φ(z) - аналитическая в точке а функция, и φ(a) ≠ 0. Находим производные этой функции по формуле Лейбница( uv ) (n) = u (n) v + n u (n - 1) v ′ + Cn2 u (n - 2 ) v ″ + Cn3 u (n - 3 ) v(3 ) + … + Cn2 u ″ v (n - 2) + n u ′ v (n - 1 ) + u v (n )f ′(z) = k(z − a)k - 1 φ(z) + (z − a)k φ ′(z), f ′(a) = 0; f ″(z) = k (k − 1)(z − a)(k - 2) φ(z) + 2k (z − a)(k - 1) φ′(z) + (z − a)(k) φ″(z), f ″(a)=0;  f k -1 )(z) = k·( k -1 )·…2·(z − aφ(z) + C1k-1k·( k -1 )·…3·(z − a)2 φ ′(z) + … + (z − a) k φ(k -1)(z), f k -1)(a)=0;  f k)(z) = k·( k -1 )·…2·1·φ(z) + C1k k·( k -1 )·…2·(z − aφ ′(z) + … + (z − a) k φ(k)(z), f k)(a) = kφ(a) ≠ 0, что и требовалось доказать.   Из этой теоремы следует, что если многочлен P n(z) = a0 z n + a1 z n - 1 + a2 z n - 2 + … + a n - 1 z = 0 разложен на множители P n(z) = a0 (z − z1) k(z − z2) k… (z − zl) kl , то корни z1z2, …, zlявляются нулями функции P n(z) кратностей, соответственно, k1k2, …, kl

 1.2. Изолированные особые точки.   1.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична во всех точках, за исключением точки а.   Рассмотрим разложение функции f(z) в ряд Лорана http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3196.gif в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.   1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3197.gif.   В этом случае особая точка а называется устранимой.   2. Главная часть содержит конечное число членов: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3198.gif.   В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным.   3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой. 

 1.2.2. Признаки особых точек по значению http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3199.gif  1. Для того, чтобы особая точка z = a была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3199.gif = CC ≠ ∞.   Док-во. Выпишем разложение f(z) в ряд Лорана: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3201.gif. Очевидно, что http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3199.gif может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е. z = a – устранимая особая точка. В этом случае http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3199.gif = A0.   2. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3199.gif = ∞.   Докажем теорему, из которой следует это утверждение.   Теорема. Для того, чтобы особая точка z = a была полюсом n-го порядка функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки f(z) представлялась в виде http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3204.gif, где φ(z) аналитическая в точке а функция, φ(a) ≠ 0.   Док-во. Необходимость. Пусть f(z) имеет в точке z = a была полюс n-го порядка,т.е. http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3198.gifПреобразуем это выражение: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3208.gif. Обозначим φ(z) сумму ряда, стоящего в скобках:φ(z) = A -n + A -n + 1(z − a) + A -n + 2(z − a)2 + … + A0(z − a) n + A1(z − a) n + 1 + A1(z − a) n + 2 + ….   Ряд Лорана функции f(z) сходится в некотором кольце 0 < | z – a | < r. Пусть точка z1 принадлежит этому кольцу. Ряд для φ(z) сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для f(z) только постоянным множителем http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3210.gif; по теореме Абеля ряд для φ(z) сходится в круге | z – a | < | z1 – a |, и φ(z) аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.   Достаточность. Пусть http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3204.gif, где φ(z) аналитическая в точке а функция, φ(a) ≠ 0. Разложим φ(z) в ряд Тейлора: φ(z) = B0 + B1(z − a) + B2(z − a)2 + … + Bk(z − a)k + … . Тогда http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3214.gif, т.е. главная часть ряда Лорана функции f(z) начинается с члена http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3215.gif, где B0 = φ(a) ≠ 0, т.е. точка z = a – полюс n-го порядка.   Следствие. Точка z = a – полюс n-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует конечный http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3217.gif Теорема о связи нулей и полюсов. Функция f(z) имеет в точке z = a – полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3218.gif имеет в этой точке нуль n-го порядка.   Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3171.gif имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3220.gif имеет в этой точке полюс пятого порядка.   3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3199.gif. Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства:   В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция f(z) принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного). 

 1.3. Вычет аналитической функции в особой точке. 

Пусть функция f(z) аналитична в области D за исключением точки a. Разложим f(z) в окрестности этой точки в ряд Лорана: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3221.gif   Коэффициент A-1 называется вычетом функции f( z) в точке а и обозначается http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan4s/tfcv4/Image3224.gif. Если γ - произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.8.3. Ряд Лорана), получаем другое, эквивалентное, определение вычета

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Курсовые работы
Размер файла:
227 Kb
Скачали:
0