Исследование устойчивости стационарных линейных систем автоматического регулирования

БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖИНЕРО – СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

по дисциплине ТАУ.

 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 

   Выполнили ст. гр. УИТ-41

                                                                                    Данилова В.А.

                                                                                    Принял доцент каф. УИТ

   Скоробогатова Т.Н._______                     

                                                                                    «___»_______________2003

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Задание                                                                                                                               3                                                                                                        

1 Преобразование структурной схемы САР                                                                   4

2 Критерии устойчивости                                                                                                 6

2.1 Критерий Гурвица                                                                                                       6

2.2 Критерий Льенара-Шипара                                                                                        7

2.3 Критерий Рауса                                                                                                           7

2.4 Критерий Найквиста                                                                                                   8

2.5 Критерий Михайлова                                                                                                10

2.6 D-разбиение                                                                                                               12

2.7 Устойчивость системы по методу Ляпунова                                                14

                                                       Вариант №55

Дана структурная схема САР вида рисунка 1, с передаточными функциями  звеньев: , , , , , . Необходимо проверить устойчивость системы по критериям: Гурвица, Льенара – Шипара, Рауса, Михайлова, Найквиста, D-разбиения, Ляпунова, Шур - Кона.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Рисунок 1

1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ САР

 

Рисунок 2

Звенья W₂(p), W₃(p), W₄(p), W₅(p) соединены последовательно, следовательно, имеем:

,

.

          В соответствии с данным преобразованием, структурная схема САУ примет вид:

Рисунок 3

Звенья W₆(p), W₇(p)  включены встречно – параллельно, следовательно:

,

.

Тогда:

Рисунок 4

          Исходя из схемы рисунка 4, по правилу преобразования структурных схем, получим передаточную функцию системы:

,

.

          Получим:

Рисунок 5

          Т.е. передаточная функция системы имеет вид:

.

2 КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Запишем характеристическое уравнение для рассматриваемой системы, получим:

.

Характеристическое уравнение является уравнением 4-го порядка, коэффициенты которого положительны, а значит и корни все левые, из чего можно сделать вывод, что необходимое условие устойчивости выполняется.

2.1 КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

          Составим определители Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения:;;;; .

=0,63;

 

=0,019;

.

;

          Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют одинаковые знаки с коэффициентом .

2.2 КРИТЕРИЙ ЛЬЕНАРА – ШИПАРА

          Данная нам система является устойчивой, т.к. при положительности коэффициентов , , , ,   характеристического уравнения все определители Гурвица с нечетным индексом положительны.

          Таким образом, условие устойчивости можно записать следующим образом:

; .

2.3 КРИТЕРИЙ РАУСА

          Устойчивость системы по критерию Рауса определяется из таблицы, элементами которой являются коэффициенты, вычисляемые по следующим формулам:

; .

    Таблица 1