Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления

Страницы работы

Содержание работы

 


БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УИТ

Расчетно-графическая работа №1

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости стационарных и нестационарных линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления

                                                                            Выполнил ст. гр. УИТ-41

                                                                                                  Сербаев В.В.

                                                                               Принял профессор

                                                                                                Скоробогатова Т.Н. _______

                                                                                             “______” ___________2003

2003

СОДЕРЖАНИЕ

1 Исходные данные                                                                        

2 Анализ звеньев

3 Упрощение

4 Проверка устойчивости

4.1 Критерий Гурвица

4.2 Критерий Льенара-Шипара

4.3 Критерий Рауса

4.4 Критерий Михайлова

4.5 Критерий Найквиста

4.6 D-разбиение

4.7

Вариант № 44

Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР. Доработать систему, получив ее устойчивой. Проверить устойчивость по критериям: 1.Гурвица, 2.Льенара – Шипара, 3.Рауса, 4.Михайлова, 5.Найквиста, 6.D-разбиения, 7.Ляпунова, 8.Шур - Кона.

1 Исходные данные

Исходная схема изображена на схеме 1

                                                           Схема 1

Передаточные функции звеньев:

W1(p)=38; W2(p)=; W3(p)=0.74; W4(p)=0.74; W5(p)= ; W6(p)= ; W7(p)= ; W8(p)= ; W9(p)=16.3; W10(p)=

2 Анализ звеньев

W1(p) – пропорциональное звено, служит для усиления входного сигнала, являющегося результатом сравнения первоначального сигнала и сигнала ООС; W2(p) – апериодическое звено, в данном случае служит для ослабления резких скачков, поступающих с усилителя; W3(p)  и W4(p) – пропорциональные звенья, служат для ослабления сигнала поступившего с W2(p), после чего сигналы сравниваются, на выходе получаем ноль, т.к. передаточные функции звеньев равны; W5(p), W6(p), W7(p) – параллельное соединение звеньев дает одно пропорциональное звено; W8(p) – последовательное соединение интегрирующего и апериодического звена, делает систему неустойчивой; W9(p) – усилительный эффект на выходе, возможно дальнейшее использование сигнала; W10(p) – звено обратной связи, служит для преобразования сигнала вышедшего из прямого звена, в удобную для сравнения форму, снимает резкие скачки.

3 Упрощение

Требуется изменить передаточную функцию W3(p)  или W4(p), чтобы суммарная функция была ненулевой. Требуется добавить звено к W8(p) ( дифференцирующее звено), чтобы снять интегрирующую составляющую, тем самым итоговое звено будет устойчивым. Проведя преобразования, получим схему 2.

Схема 2

Обозначение: W11(p)=2, W12(p)=p.

Упростим:

Схема 3

Обозначение: W13(p)=W1(p)*W2(p)= 38*=

W14(p)=W11(p)*W3(p)=2*0.74=1.48

W15(p)=W12(p)*W8(p)=p*=

W16(p)=W5(p)+W6(p)-W7(p)= +-=

Упростим далее:

Схема 4

Обозначение: W17(p)=W14(p)-W4(p)=1.48-0.74=0.74

W18(p)=W15(p)+W16(p)= +=

Схема 5

Обозначение: W19(p)=W13(p)*W17(p)*W18(p)= *0.74*=

=

Схема 6

Обозначение: W20(p)==

Упростим схему:

Схема 7

Обозначение: W21(p)=W20(p)*W9(p)=

4 Проверка устойчивости

4.1 Критерий Гурвица

Запишем характеристическое уравнение системы:

a0=0.692102782; a1=6.6918393; a2=18.428238; a3=14.27276397; a4=1.001183313

Теперь можно составить главный определитель Гурвица

 
          

Теперь посчитаем определители:

1.  (6.6918393)= 6.6918393

2.                                    =113.441

 


3.                                                   =1574

Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют один знак с a0=0.692102782.

4.2 Критерий Льенара-Шипара

Характеристическое уравнение является уравнением 4 степени, т.е. должно выполнятся  и

. Условие выполняется, т.е. система устойчива.

4.3 Критерий Рауса

Требуется составить таблицу коэффициентов.

Ck,i=Ck+1,i-2-ri*Ck+1,i-1, где  

Коэффициент

ri

Номер

строки i

Номер столбца к

к=1

к=2

к=3

-----

1

a0=C11

a2=C21

a4=C31

-----

2

a1=C12

a3=C22

a5=C32=0

r3=C11/C12=

=0.103424895

3

C13=C21-r3*C22=

=16.95207889

C23=C31-r3*C32=

=1.001183313

C33=C41-r3*C42=

=0

r4=C12/C13=

=0.394750363

4

C14=C22-r4*C23=

=13.87754649

C24=C32-r4*C33=

=0

C34=C42-r4*C43=

=0

r5=C13/C14=

=1.22154726

5

C15=C23-r5*C24=

=1.001183313

C25=C33-r5*C34=

=0

C35=C43-r5*C44=

=0

Таблица 1

Согласно критерию Рауса, система устойчива, т.к. все коэффициенты столбца 1 имеют один знак.

4.4 Критерий Михайлова

Для использования критерия требуется в характеристическом уравнении использовать преобразование p=jω. Используем данное преобразование:

D(jω)=0.692102782ω4-j6.6918393ω3-18.428238ω2+j14.27276397ω+1.001183313=0

Кроме того: D(jω)=X(ω)+jY(ω), тогда

X(ω)=0.692102782ω4-18.428238ω2+1.001183313

Y(ω)=-6.6918393ω3+14.27276397ω

Графики оформлены в MathCAD, с постепенным увеличением масштаба.

Рисунок 1, а

Рисунок 1, б

Рисунок 1, в

Последний график показывает, что условие K=π/2*n, где K-угол поворота годографа, n-порядок характеристического уравнения, соблюдено. График уходит в бесконечность в 4 квадранте, система устойчива.

4.5 Критерий Найквиста

Требуется представить передаточную функцию в комплексной форме.

Т.е.

Re(W(jω))=

Im(W(jω))=

Построим график

а)                                                                              б)

Рисунок 2

Рисунок 2, в

4.6 D-разбиение

Примем коэффициент передачи звена W10(p)=k, тогда

W20(p)==

Итоговая передаточная функция примет вид:

 W(p)

Запишем характеристическое уравнение

=0

Требуется выделить мнимую и действительную части, приняв p=jω

Re(k)=

Im(k)=

Рисунок 3

Согласно рис.3, у системы есть область устойчивости, и k=0.21*10^(-5) принадлежит области устойчивости, т.е. система устойчива.

4.7 Критерий Ляпунова

Похожие материалы

Информация о работе