Аффинные преобразования плоскости и пространства. Изометрические преобразования (ИП). Связь с движениями., страница 3

=> | K’P’| - кратчайшее расстояние от т.P’ до K’N’

Кратчайшее расстояние от P’ до K’N’ измеряется по перпендикуляру =>  => две взаимно перпендикулярных направления найдены.

 

Доказательство теоремы 3:

Пусть дано АП А плоскости

В качестве начальной СК определяющей данное АП А возьмем ПДСК , причем i, j такие векторы, которые при данном АП→ в 2 взаимно  вектора. Такие векторы можно найти в силу леммы.

Пусть система   

причем , но , ,  (в общем случае)

Рассмотрим преобразование сжатия () вдоль вектора .

 - преобразование, при котором любой вектор  изменяет свою длину в  раз, соответственно, вектор перпендикулярный этому направлению не изменяет свою длину.

     (единичный)

 

Рассмотрим АП сжатие , которое переводит, сжатие вдоль вектора  с коэффициентом .

     

 

Рассмотрим композицию АП

(движение по определению) D

– преобразование, в котором ПДСК →ПДСК

  

- сжатие вдоль вектора  с коэффициентом

- сжатие вдоль вектора  с коэффициентом

А – произведение АП. Ч.т.д.

Теорема 3’. Произвольное АП пространства можно представить в виде композиции некоторого движения пространства и трех сжатий по взаимно перпендикулярны направлениям.

Доказательство: аналогично.

Движения, их свойства и виды.

См. свойства АП, опр., что писали ранее.

Свойства движения:

 При движении плоскости произвольный треугольник переходит в треугольник, равный первоначальному.

Доказательство: признак равенства треугольника по трем сторонам. (ранее мы доказали утверждение, что при движении расстояния между точками сохраняется)

 При движении углы между векторами сохраняются.

Доказательство: по свойству . Приложим 2 вектора общему началу, соединим концы, получим треугольник, по свойству 1 этот треугольник перейдет при движении в равный ему треугольник, следовательно, соответствующие углы в этих треугольниках равны.

 При движении площади треугольников сохраняются. Очевидно.

 При движении любая плоская замкнутая фигура переходит в фигуру, равную первоначальной.

Виды движения:

Аналитическое выражение движения (формулы движения).

Из материала 1 семестра известны формулы связи старых и новых базисных векторов при преобразовании ПДСК.

 

Запишем формулы преобразований координат точек плоскости при переходе к новой ПДСК: т. М’(x’; y’) в старой ПДСК и  М’(x;y) в новой ПДСК:

но x; y – координаты т М в старой ПДСК. Поэтому данные формулы выражают связь координат точки после движения с координатами прообраза этой точки до движения в одной и той же старой ПДСК.

Движение: собственное (верхние знаки в середине формул), несобственное (нижние знаки).

Определение

Движение называется собственным, если обе ПДСК, через которые задается это движение, одинаковой ориентации. В противном случае оно несобственное.

D^C  - собственное движение (верхние знаки)

 

Найдем двойную точку собственного движения.

 – условие двойной точки

 

 

Решим систему методом Крамера

 

 

 

Условие, что это решение есть и единственное по теореме Крамера . Единственная двойная точка собств. движения с координатами x₀ и y₀.

(*)    

D^C      (V)  

тогда преобразование D^C имеет единственную двойную точку.

(*)→ в (V) и получим:

   (VV)

Рассмотрим геометрический смысл формул (VV).

Рассмотрим вектор , где  – двойная точка D^C

      => из формул (VV)

 

Обозначим

                            

(**)   -  формулы поворота вектора на угол φ

Найдем угол между векторами {α;β} и {α’;β’}

Мы доказали, что формулы

D^C (VV)

описывают поворот плоскости вокруг неподвижной точки М₀ на угол .

Т.о. можно считать, что начальные формулы преобразования D^C (V), это тоже формулы поворота плоскости вокруг т. М₀  на угол φ.

Частный случай формулы (V) D^C

(V)  

1) если a=0, b =0: поворот плоскости вокруг начала координат

D^C₀:

 

2)