Численные методы и оптимизация

Страницы работы

Содержание работы

Московский  технический университет по связи и информатике

Заочная форма обучения

Курсовая работа по предмету:

Информатика

Тема: Численные методы и оптимизация

Студента 2 курса

Специальности 201000

Студенческий билет

Преподаватель:

2004 год

Задание

1. Для заданной функции y(x) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F1(x) = a0 + a1x и квадратичную F2(x) = a0 + a1x + a2x2 аппроксимирующие функции:

-  составить и решить систему нормальных уравнений;

-  определить параметры аппроксимирующих функций;

-  вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации;

-  построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации;

-  оценить качество аппроксимации.

2. Найти два корня уравнения F2(x) = 0 с заданной точностью Е:

-  отделить корни;

-  проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений. В случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню;

-  выбрать начальное приближение;

-  записать рекуррентную формулу для уточнения корня;

-  оценить погрешность.

3. Вычислит dx при разбиении отрезка интегрирования на

n1 = 10 и  n2 = 20 подынтервалов , x1x2 - корни уравнения :

-  оценить погрешность.

4. Определить точку экстремума функции F2(x) методами одномерной оптимизации (с точностью Е):

-  проверить условие унимодальности и выбрать начальный отрезок оптимизации;

-  записать условие окончания поиска минимума (максимума) функции.


Задание 1. Функция y = y(x) задана таблицей.

Таблица 1

I

0

1

2

3

4

5

xi

0

2

4

6

8

10

y(x)

1

1.386

0.406

-0.939

-1.286

-0.266

Запишем параметры линейной аппроксимации:

x = = 4.285                      y = 0.043

a0 = ya1x = 1.170952

a1 = -0.2241571

Искомая линейная аппроксимирующая функция:

F1(x) =-0.2241571х+1.170952

Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени           F2(x) = a0 + a1x + a2x2

 

 (n+1)a0 + ( Σxi )a1 + ( Σxi2)a2  = Σ  yi

 ( Σxi )a0 + ( Σxi2)a1 + ( Σx3)a2   = Σ  xi yi

 (Σxi2)a0 + ( Σxi3 )a1 + ( Σxi4)a2  = Σ  xi2 yi .

Система нормальных уравнений:

 6а0      30а1         +  220а2   = 0.301

30а0  +  220а1      -  1800а2  =  -14.186

220а0  - 1800а1   +  15664а2 = -130.668

Решение системы нормальных уравнений:

а2 = 2.545535Е-02   а1 = -0.4787107   а0 = 1.510357

Искомая аппроксимирующая функция:

F2(x) = 2.545535E-02x2 – 0.4787107 x1.510357

Значения аппроксимирующих функций F1{x} и F2{x} в узлах аппроксимации приведены в таблице 3:

X

0

2

4

6

8

10

F1{x}

1.170952

0.722638

0.274323

-0.1739

-  0.6223

-1.0706

F2{x}

1.51035

0.65475

2.799E-03

-0.4455

-0.6901

-0.7312

Таблица3

Графики  функций  линейной  и  квадратичной  аппроксимации  показаны  на рисунке

Оценим качество аппроксимации:

ρ = sqr(1/(n+1)* ∑ (Fm(xi) – y(xi))2)  

Для линейной функции: р1=0.5999658

Для квадратичной функции: р2=0.5435526

      p2<p1, значит аппроксимация квадратичной функции более качкственная.

Задание 2.  Решение уравнения F2(x) с точностью Е = 10-4 . Для отделения корней уравнения F2(x)

составим таблицу знаков функции F2(x).

                                                                                                                     Таблица 4

X

-1

1

3

5

7

9

11

13

15

Sign F2(x)

+

+

+

-

-

-

-

-

+

На отрезках [3 5] и [12 15] функция F2(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню.

Производная F2'(x) = 0.051x-0.4787107,

F2"(x) = 0.051 > 0, следовательно, производная F2'(x) - монотонно возрастающая функция.

Составим таблицу знаков функции Аэ(ч) на выбранных отрезках:

X

3

5

13

15

Sign F2’(x)

-0.32571

-0.2237

0.18423

0.2863

Похожие материалы

Информация о работе