Задачи оптимизации. Определение оптимального управления

Страницы работы

3 страницы (Word-файл)

Содержание работы

Лекция №5

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Определение оптимального управления состоит в выборе таких управляющих воздействий, при которых критерий качества принимал бы в зависимости от его смысла максимальное или минимальное значение и включает в себя три задачи:

выбор и математическое описание цели оптимального управления в виде соответствующих критериев оптимальности;

определение математической модели объекта и установление ограничений на векторы Y, X и u, а также оценку свойств объекта и влияния возмущений f(t);

выбор метода синтеза оптимального управления .

Принято различать статический (установившийся) и динамический режимы работы объекта. Соответствующие уравнения математических моделей используют при формулировке задач оптимизации.

Процессы, протекающие в объектах общего типа, полностью определяются математической моделью в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений состояния и выхода, например, вида

,              (1.24)

где f(...) и j(...) – матрицы-столбцы, состоящие из n и m элементов соответственно.

Часто эта модель для упрощения задачи при удовлетворительной точности результатов может быть сведена к линейной, представленной в виде линейных уравнений состояния и выхода:

,     (1.25)

где А, В, Вf, С, D – матрицы коэффициентов, размерность которых зависит от размерности векторов X, u, Y и fв(t).

В статических режимах работы стационарных объектов компоненты векторов управления U при отсутствии или постоянных возмущениях fв(t) неизменны во времени, а значения составляющих вектора выхода Y определяются статическими характеристиками объекта. Для нестационарных объектов координаты объекта и его характеристики изменяются во времени. В случае квазистационарных объектов можно рассматривать квазистатические режимы на отдельных интервалах времени [ti, ti + Ti], где i=1, 2, ..., k;  k = (tкt0)/N; N – число интервалов квазистационарности.

Задачи оптимизации по скалярным критериям. Оптимизацию по скалярным критериям производят как для статических, так и для динамических критериев.

1. При оптимизации статических и квазистатических режимов скалярный критерий качества может быть нелинейным и линейным соответственно:

;                                (1.31)

,                            (1.32)

где C0(t) – коэффициент, изменяющийся во времени из-за влияния неконтролируемых возмущений fв(t) для нестационарных объектов; Сu и Cz – матрицы-строки постоянных коэффициентов.

Оптимальное управление объектом в квазистатических или статических режимах состоит в определении таких векторов U°(Ti) или U°, которые удовлетворяли бы условиям (1.26), если объект нелинейный, и условиям (1.28) или (1.29), если объект линейный, а также доставляли минимум или максимум критерию качества, заданному в виде (1.31) или (1.32). При этом на компоненты вектора управления накладываются ограничения U° Î Wu. Эти ограничения могут быть различными. Наиболее распространенными типами ограничений являются двусторонние ограничения Umin £ U £ Umax. При Umin = 0 и Umax = ¥ ограничения имеют вид U ³ 0 (неотрицательность переменных).

2. При оптимизации динамических режимов объекта по скалярным критериям уравнения состояния нелинейного нестационарного объекта могут быть записаны в неявном виде:

.              (1.36)

Применяя скалярные критерии оптимальности динамических режимов, задачи оптимального управления нестацио­нарным объектом в динамике для детерминированного и стохастиче­ского объектов запишем в виде

          (1.37a)

          (1.37б)

где условия  означают, что начальное и конечное значения векторов состояния заданы и принадлежат множествам .

В экстремальных задачах (1.37а) и (1.37б), кроме ограничений фазовых координат и управлений, имеются функциональные ограничения, заданные в виде уравнений G(...) = 0 – математических моделей динамики объектов (1.36), являющихся дополнительными условиями при отыскании min (или max) критериев J или <J>.

Задачи оптимизации по векторным критериям. Для сложных технологических процессов и объектов, представляющих собой «большие» системы, задача оптимизации формулируется по векторному критерию оптимальности (см.§1.2). Такие задачи называют многокритериальными или задачами векторной оптимизации.

При векторном критерии оптимальности

J =Q(Y, U, Z, Ti)                                   (1.38)

задача оптимизации квазистатических режимов может быть сформулирована, подобно (1.33), как векторная задача нелинейного программирования общего типа:

,   (1.39)

где Q(...) – вектор-столбец l функций частных критериев.

Задача (1.39) вырождается в задачу линейного программирования, если все частные критерии и уравнения объекта являются линейными.

При решении задачи (1.39) необходимо так выбрать вектор управлений U(Тi), чтобы каждому частному критерию Jj обеспечить минимум (или максимум). Для стационарных объектов вектор U0 не зависит от времени.

Похожие материалы

Информация о работе