Свободные колебания

3

1   Введение.

Физическая постановка задачи

Задача о колебании математического маятника. Математический маятник – это осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения [1].

2   Анализ основных уравнений

Основное уравнение движения

Основное уравнение движения – второй закон Ньютона [2], который записывается в виде:

.                                                           (1)

3   Описание метода моделирования

3.1   Выбор численного метода

Для численного решения поставленной задачи наилучшим оказывается применение метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Потому что метод 4-го порядка имеет преимущество перед методами 1-го и 2-го порядков, так как он обеспечивает малую локальную ошибку. Это позволяет увеличить шаг интегрирования и, следовательно, сократить время расчета [3].

3.2   Метод Рунге-Кутта

Для численного решения поставленной задачи применялся метода Рунге-Кутта 4-го порядка. Метод Рунге-Кутта – это класс численных методов для решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и их систем [4]. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой [5]. В данной задаче применяется метод Рунге-Кутта 4-го порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования. Этот метод имеет четвёртый порядок точности.

В нашем случае численная схема выглядит следующим образом:

,

(2)

,

4

где

,

(3)

,

,

,

,

,

(4)

,

,

,

.

4   Результаты численных расчётов

Обработка полученных данных

В результате проведения численного эксперимента были получены несколько серий, анализ которых показывает:

1.  Зависимости координаты и скорости от времени периодические (см. Рис.1, Рис.3, Рис.5 и Рис.7);

2.  При малой амплитуде (при малом угле отклонения маятника от положения равновесия) колебания системы близки к гармоническим (см. Рис.1, Рис.3 и Рис.5), и с увеличением амплитуды (угла отклонения) перестают быть гармоническими (см. Рис.7);

3.  При гармонических колебаниях фазовый портрет системы имеет форму эллипса (см. Рис.2, Рис.4 и Рис.6), и теряет форму эллипса, когда колебания перестают быть гармоническими (см. Рис.8);

4.  В условии негармонических колебаний частота колебаний уменьшается с ростом амплитуды (см. Рис.1, Рис.3, Рис.5, Рис.7 и Рис.9).

5

Рис. 1. Зависимости координаты и скорости от времени при  (отн. ед.),  (отн. ед.),  (рад./c.).

Рис.2. Зависимость скорости от координаты при  (отн. ед.),  (отн. ед.),

  (рад./c.).

Рис.3. Зависимости координаты и скорости от времени при  (отн. ед.), (отн. ед.),  (рад./c.).

6

Рис.4. Зависимость скорости от координаты при  (отн. ед.), (отн. ед.),

  (рад./c.).

Рис.5 Зависимости координаты и скорости от времени при  (отн. ед.), (отн. ед.),  (рад./c.).

Рис.6. Зависимость скорости от координаты при (отн. ед.), (отн. ед.),

  (рад./c.).

7

Рис.7. Зависимости координаты и скорости от времени при  (отн. ед.), (отн. ед.),  (рад./c.).

Рис.8. Зависимость скорости от координаты при  (отн. ед.), (отн. ед.),

  (рад./c.).

Рис.9. Зависимость частоты колебаний от амплитуды.

8

5   Выводы

По результатам проделанной работы можно сделать следующие выводы:

·  Колебания математического маятника при данных условиях – это свободные незатухающие колебания, которые при малой амплитуде являются гармоническими.

·  При малой амплитуде колебаний координата и скорость зависят от времени по гармоническому закону, фазовый портрет системы имеет форму эллипса.

·  С увеличением амплитуды колебания перестают быть гармоническими, фазовый портрет теряет форму эллипса.

·  В случае негармонических колебаний частота колебаний уменьшается с увеличением их амплитуды.

Список литературы

1. А. Н. Матвеев «Механика и теория относительности» 1-ое изд. М.: Высшая школа, 1976.

2. Д. В. Сивухин «ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. Том 1. МЕХАНИКА» М.: Наука, 1979.

3. Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова «Численные методы анализа» 3-е изд. М.: Наука, 1967.

4. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков «Численные методы» М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

5. В. А Ильина, П. К. Силаев «Численные методы для физиков-теоретиков Ч. 2» Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

9